专题2.7 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（5分）（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）对于任意实数a,b,c,d ，以下四个命题中的真命题是（ ）
A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b>0 ，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则1abc2，则a>b
【解题思路】采用举反例的方法，可判断A,B,C,利用不等式性质可判断D.
【解答过程】若a>b，当c0 ，c>d，取a=2,b=1,c=−1,d=−2，满足条件，但ac=bd，B错误；
若a>b，取a=1,b=−1 ，则1a>1b，C错误；
若ac2>bc2，则必有c≠0 ，故c2>0，则a>b，D正确，
故选：D.
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若实数x，y满足x+y≥15x+2y≥2，则2x+y的取值范围（ ）
A．[1,+∞)B．[3,+∞)C．[4,+∞)D．[9,+∞)
【解题思路】设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y)，求出m,n，再根据不等式的性质即可得出答案.
【解答过程】解：设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y)，
则m+5n=2m+2n=1，解得m=n=13，
故2x+y=13(x+y)+13(5x+2y)，
又因x+y≥15x+2y≥2，
所以13x+y≥13,135x+2y≥23，
所以2x+y≥1.
故选：A.
3．（5分）（2023春·河北保定·高一校考期中）已知a=2，b=7−3，c=6−2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a
【解题思路】通过作差法，a−b=2+3−7，确定符号，排除D选项；
通过作差法，a−c=22−6，确定符号，排除C选项；
通过作差法，b−c=7+2−6+3，确定符号，排除A选项；
【解答过程】由a−b=2+3−7，且(2+3)2=5+26>7，故a>b；
由a−c=22−6且(22)2=8>6，故a>c；
b−c=7+2−6+3且(6+3)2=9+218>9+214=(7+2)2，故c>b.
所以a>c>b，
故选：B.
4．（5分）（2023春·山西太原·高二校考阶段练习）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为0,+∞，若关于x的不等式fx1)，然后通过基本不等式求得答案.
【解答过程】由题意可得，a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，设yx=t(t>0)，则1+yx1+yx=1+t1+t2，再设1+t=m(m>1)，则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m−1)2= mm2−2m+2=1m+2m−2 ≤12m⋅2m−2=122−2=2+12，当且仅当m=2m⇒yx=2−1时取得“=”.
所以a≥2+12，即实数a的最小值为2+12.
故选：D.
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤6B．−6≤m≤0
C．m≥0D．0≤m≤6
【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∈[13,12]，
∴yx∈[1,3]，
又∵mx2−xy+y2≥0，且x∈[2,3],x2>0，
可得m≥yx−yx2，
令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，
∵y=t−t2的开口向下，对称轴t=12，
则当t=1时，y=t−t2取到最大值ymax=1−12=0，
故实数m的取值范围是m≥0.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·全国·高三专题练习）[多选]下列说法正确的是（ ）
A．若ab>0，则a+b≥2abB．若a>b>0，则a3−b3>a2b−ab2
C．若a>b>0，则a+bb>0，所以a−b>0，
所以a3−b3−a2b+ab2=a2a−b+b2a−b=a−ba2+b2>0，
即a3−b3>a2b−ab2，故B正确．
对于C，将不等式a+b0，因为a>b，所以不等式成立，故C正确．
对于D，因为ab