专题3.8 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·高一课时练习）已知集合A={1,2,3,k},B=4,7,a4,a2+3a，其中a∈N+，函数f(x)=3x+1的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【解题思路】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.
【解答过程】函数f(x)=3x+1的定义域为A，值域为B，
所以当x=1时，f(1)=3+1=4；当x=2时，f(2)=6+1=7；
当x=3时，f(3)=9+1=10；当x=k时，f(k)=3k+1；
所以B=4,7,10,3k+1，又B=4,7,a4,a2+3a，
所以若a2+3a=10，解得a=2或a=−5，因为a∈N+，所以a=2.
此时B=4,7,16,10，所以3k+1=16，则k=5；
若a4=10，又a∈N+，所以不成立.
综上a=2，k=5.
故选：D.
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①y=x34；②y=x23；③y=x−32；④y=x−23；⑤y=x32；⑥y=x−13；⑦y=x13．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【解题思路】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【解答过程】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故y=x−13满足；
图象（2）关于y轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=x−23满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=x−32满足；
图象（4）关于y轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故y=x23满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故y=x13满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递减，故y=x34满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递增，故y=x32满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C.
3．（5分）（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】根据条件列出分段函数ft的解析式，再判断函数的图象.
【解答过程】当0≤t≤1时，ft=12t⋅3t=32t2，此段为开口向上的抛物线的一部分，
当1720，可得该企业每年利润的最大值为875.
故选：C.
5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3f2x+ax，
由fx在R上单调递增得ax2+2>2x+ax整理得ax2−a+2x+2>0，即ax−2x−1>0，
当a=0时，−2x+2>0，解得x0，
当a0，解集为x|x≠1，
当02时，010=−7.5x+160,0≤x≤10800x+0.5x,x>10.
（3）当0≤x≤10时，Fx=−7.5x+160，显然Fx在0,10上单调递减，
所以Fxmin=F10=85；
当x>10时，Fx=800x+0.5x≥2800x×0.5x=40，
当且仅当800x=0.5x，即x=40时，等号成立，故Fxmin=40；
综上：Fxmin=40，此时x=40，
所以当x为40平方米时，Fx取得最小值，最小值是40万元.
21．（12分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知幂函数fx=p2−3p+3xp2−32p−12是其定义域上的增函数．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若函数ℎx=x+afx，x∈1,9，是否存在实数a使得ℎx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数gx=b−fx+3，是否存在实数m,n(m