专题4.3 对数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc9754" 【题型1 对数的概念的理解】 PAGEREF _Tc9754 \h 2
\l "_Tc14861" 【题型2 指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc14861 \h 2
\l "_Tc5999" 【题型3 对数的运算性质的应用】 PAGEREF _Tc5999 \h 3
\l "_Tc28486" 【题型4 换底公式的应用】 PAGEREF _Tc28486 \h 4
\l "_Tc9399" 【题型5 指、对数方程的求解】 PAGEREF _Tc9399 \h 4
\l "_Tc26296" 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 PAGEREF _Tc26296 \h 4
\l "_Tc28205" 【题型7 对数的实际应用】 PAGEREF _Tc28205 \h 6
【知识点1 对数的概念】
1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
【题型1 对数的概念的理解】
【例1】（2022春·江苏南京·高一校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可化为对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数
【变式1-1】（2022秋·高一单元测试）已知对数式lga+124−a有意义，则a的取值范围为（ ）
A．−1,4B．−1,0∪0,4
C．−4,0∪0,1D．−4,1
【变式1-2】（2022秋·四川甘孜·高一校考阶段练习）对于 a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是（ ）
①若 M=N，则lgaM=lgaN ; ② 若lgaM=lgaN，则M=N;
③ 若lgaM2=lgaN2 ，则M=N; ④若 M=N，则lgaM2=lgaN2.
A．①③B．②④C．②D．①②④
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型2 指数式与对数式的互化】
【例2】（2023·高一课时练习）设lg45=2m，则4m= （ ）
A．125B．25C．15D．5
【变式2-1】（2023秋·天津河西·高三校考期末）已知a>b>1，若lgab+lgba=103，ab=ba，则ab=（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式2-2】（2023秋·高一课前预习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与912=3
C．8-13=12与lg812=-13D．lg77=1与71=7
【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．e0=1与ln1=0B．8−13=12与lg812=−13
C．lg39=2与912=3D．lg77=1与71=7
【知识点2 对数的运算】
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：
2．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
【题型3 对数的运算性质的应用】
【例3】（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A．e2⋅e3=e6B．e4=e3C．lg2⋅lg5=1D．lg2+lg5=1
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）设lg34=a，lg35=b，则lg310=（ ）
A．2a+4bB．4a−2b
C．12a+bD．14a+12b
【变式3-2】（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知alg4a=162，则a+lg2a=（ ）
A．11或−238B．11或−218C．12或−238D．10或−218
【变式3-3】（2023·天津河西·天津市校考模拟预测）已知a=lg0.12,b=lg502，则2a+1b=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【题型4 换底公式的应用】
【例4】（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）lg2⋅lg810的值为（ ）
A．3B．lg310C．13D．lg3
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知lg2=a,lg3=b，则lg475=（ ）
A．a−b+22aB．b−2a+22aC．b−a+22aD．2a−b+22a
【变式4-2】（2023·四川泸州·四川省校考二模）已知lg189=a，18b=5，则lg4581=（ ）
A．−aa+bB．2−aabC．2aa+bD．2−aa+b
【变式4-3】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知a=lg26，3b=36，则1a+2b=（ ）
A．12B．1C．2D．4
【题型5 指、对数方程的求解】
【例5】（2023春·北京·高一校考开学考试）方程3lg2x=14的解为（ ）
A．4lg32B．2lg22C．12lg32D．14lg32
【变式5-1】（2022秋·高一单元测试）方程lg3x2=2−lg93x的解集是（ ）
A．3,3B．3,39
C．3D．3,39
【变式5-2】（2021·高一课时练习）方程2lgx25−3lg25x=1的解集是（ ）．
A．535B．∅C．125D．535,125
【变式5-3】（2023·高一课时练习）若α、β是方程(lgx)2−lg(x2)−2=0的两根，则lgαβ+lgβα的值为（ ）
A．−4B．−2C．2D．4
【题型6 带附加条件的指、对数问题】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知lg189=a，18b=5，求lg1845.（用a,b表示）
（2）已知lg94=a，9b=5，求lg3645.（用a,b表示）
【变式6-1】（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数a，b满足3a=2，blg34=1．
(1)用a表示lg34−lg36；
(2)计算9a+9−a+4b+4−b的值．
【变式6-2】（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）（1）已知10m=2,10n=3，求103m−2n2的值；
（2）已知a12+a−12=3，求a2+a−2的值；
（3）计算：12lg23×412+lg23×lg34−30.
【变式6-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）（1）已知alg23=1，求54×843+alg29+3a的值；
（2）已知2x+2−x=22，求16x+16−x的值．
【知识点3 对数的实际应用】
1．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数
学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型7 对数的实际应用】
【例7】（2023秋·湖南长沙·高三校考开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．10117万年B．10118万年C．10119万年D．10200万年
【变式7-1】（2023·福建三明·统考三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对2p−1（p为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在p≤257的素数中，当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p−1是素数，其它都是合数.除了p=67和p=257两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在2p−1型素数研究中所做的开创性工作，就把2p−1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp=2p−1.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数M19=219−1，第8个梅森素数M31=231−1，则lg1+M311+M19约等于（参考数据：lg5≈0.7）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【变式7-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原来的14C会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的15，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：（lg2）−1≈3.3219），则m的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
【变式7-3】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845）
A．3B．4C．5D．6
名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
简记作lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e
≈2.71828
简记作ln N
运算
数学表达式
自然语言描述
积的对数
正因数积的对数等于同一底数的各因数的
对数的和
商的对数
两个正数的商的对数等于同一底数的被除
数的对数减去除数的对数
幂的对数
正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂
的底数的对数