专题4.5 函数的应用（二）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc20967" 【题型1 求函数的零点】 PAGEREF _Tc20967 \h 2
\l "_Tc14357" 【题型2 函数零点存在定理的应用】 PAGEREF _Tc14357 \h 2
\l "_Tc5412" 【题型3 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】 PAGEREF _Tc5412 \h 3
\l "_Tc6749" 【题型4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】 PAGEREF _Tc6749 \h 4
\l "_Tc5108" 【题型5 用二分法求方程的近似解】 PAGEREF _Tc5108 \h 5
\l "_Tc12314" 【题型6 用二分法求函数的近似值】 PAGEREF _Tc12314 \h 5
【知识点1 函数的零点】
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零
点就是使函数值为零的自变量的值.
(2)函数的零点与方程的解的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)几种常见函数的零点
①二次函数的零点
一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点.
②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.
③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.
④反比例函数y=(k≠0)没有零点.
⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.
⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.
2．函数零点存在定理
(1)函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函数零点存在定理的几何意义：
在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.
【题型1 求函数的零点】
【例1】（2023·全国·高一专题练习）函数fx=1−lg3x+2的零点为（ ）
A．lg38B．2C．lg37D．lg25
【变式1-1】（2023·全国·高一课堂例题）下列说法正确的是（ ）
A．函数fx=x−1（2≤x≤10）的零点为1
B．函数fx=x2−2x的零点为0,0，2,0
C．对数函数有且只有一个零点1
D．“m<1”是“函数fx=x2+x+m有零点”的充分不必要条件
【变式1-2】（2023春·高二校考期末）函数f(x)=x2−12x的零点的个数为 （ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=2x+x+1，g(x)=lg2x+x+1，ℎ(x)=x3+x+1的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b>c>aB．c>a>bC．b>a>cD．a>b>c
【题型2 函数零点存在定理的应用】
【例2】（2023·全国·高一专题练习）f(x)=lg2x+x−5的零点所在区间为（ ）
A．1,2B．2,3C．3,4D．4,5
【变式2-1】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知x0是函数fx=13x−x+4的一个零点，则x0∈（ ）
A．2,3B．4,5C．3,4D．1,2
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数fx=2x+x，g(x)=x−1，ℎx=lg2x+x的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．aC．c【变式2-3】（2023秋·高一课时练习）已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表，那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【题型3 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】
【例3】（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知函数f(x)=2−x,x≤01x−x,x>0，g(x)=f(x)−x−a．若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−1,0)B．[0,+∞)
C．[−1,+∞)D．[1,+∞)
【变式3-1】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx=32x+22−m−1,x≤−12x+2e−x−m,x>−1,若关于x的方程[f(x)]2−m2+3f(x)+m3−m2+3m=0有且仅有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．14,1B．−12,0C．0,14D．−12,1
【变式3-2】（2023秋·山东德州·高三校考开学考试）定义在R上的偶函数fx满足f2−x=fx+2，当x∈0,2时，fx=(e)x，若在区间x∈0,10内，函数gx=fx−mx−1,(m>0)有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．e−110,e−16B．0,e5−110
C．e−111,e−16D．0,e−110
【变式3-3】（2023春·山西晋城·高一校考期中）已知函数fx=lg2x,x>0x2,x≤0,gx=fx+3fx−1，若方程gx=a有3个不同的实根x1,x2,x3x1A．−∞,−46B．46,+∞
C．−∞,8D．−∞,0
【知识点2 二分法】
1．二分法
(1)二分法的定义：
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.
(3)用二分法求方程的近似解：
用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在
要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.
(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.
4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.
【题型4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】
【例4】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx=2x−3的零点时，初始区间可选为（ ）
A．[−1,0]B．[0,1]
C．1,2D．[2,3]
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求方程lnx−1x=0在1,2上的解时，取中点c=1.5，则下一个有解区间为（ ）
A．1,1.25B．1,1.5
C．1.25,1.5D．1.5,2
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求方程3x=8−3x在1,2内的近似解，已知31.25≈3.95,31.5≈5.20,31.75≈6.84判断，方程的根应落在区间（ ）
A．1,1.25B．1.25,1.5C．1.5,1.75D．1.75,2
【变式4-3】（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）在用二分法求函数y=3x3−2x−10零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为1.625,1.7，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A．1.625,1.6625B．1.6625,1.7
C．1.625,1.675D．1.625,1.65
【题型5 用二分法求方程的近似解】
【例5】（2023·全国·高一专题练习）用二分法可以求得方程x3+5=0的近似解(精确度为0.1)为（ ）
A．−1.5B．−1.8
C．−1.6D．−1.7
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若函数f（x）=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
那么方程f（x）=x3+x2−2x−2的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（ ）
A．1.25B．1.39C．1.42D．1.5
【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f1=−2 f1.5=0.625 f1.25=−0.984
f1.375=−0.260 f1.438=0.165 f1.4065=−0.052
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=ln(x+2)+2x−m的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
由二分法，方程ln(x+2)+2x−m=0的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625B．−0.009C．0.5625D．0.066
【题型6 用二分法求函数的近似值】
【例6】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x3+x−1在(0,1)内有一个零点，且求得f(x)的部分函数值数据如下表所示：
要使f(x)零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7B．6次0.6
C．5次0.7D．5次0.6
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx=x3+x2−2x−2的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：f1=−2，f1.5=0.625，f1.25=−0.984，f1.375=−0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算f1.4375
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算f1.3125
【变式6-2】（2023·高一单元测试）若函数f(x)的零点与g(x)=512x3−125的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是（ ）
A．f(x)=4x−1B．f(x)=|2x−1|C．f(x)=x3+x−2D．f(x)=(3x+1)2
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）某同学在用二分法研究函数f(x)=2x+x+m的零点时，．得到如下函数值的参考数据：
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
x
1
2
3
4
5
6
7
fx
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
f1=−2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=−0.984
f(1.375)=−0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=−0.054
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
fx
−1.307
−0.084
−0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
x
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
f(x)
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
x
1
1.25
1.375
1.40625
1.4375
1.5
f(x)
−1
−0.3716
−0.0313
0.0567
0.1460
0.3284