专题4.6 指、对数函数的综合应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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专题4.6 指、对数函数的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一
指数型函数的定义域与值域


1．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域；
（1）y=2x+1；（2）y=1−2x；（3）y=2x.
【解题思路】（1）根据指数运算的性质求出函数的定义域和值域；
（2）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数运算的性质求出函数的值域；
（3）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数函数的单调性求出函数的值域；
【解答过程】解：（1）y=2x+1的定义域为R，值域为(0,+∞).
（2）由1−2x≥0知x⩽0，故y=1−2x的定义域为(−∞,0]；由0⩽1−2x0Δ=8a3−42−4×4a13a9−43>0，解得121332时，ℎ(n)在32,k上单调递减，在k,+∞上单调递增，
所以ℎ(n)的最小值为ℎ(k)=k2−2k2+2=2−k2=−4，解得k=6或k=−6舍去；
综上可得，k=6.
题型二
对数型函数的定义域与值域


6．（2023秋·高一课时练习）已知函数f(x)=loga(ax−x) (a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a=2,x∈[1,9]，求函数f(x)的值域.
【解题思路】（1）根据真数大于0，解不等式可得结果；
（2）先配方求出t=2x−x的值域，再根据对数函数的单调性求出f(x)的值域.
【解答过程】（1）由ax−x>0得x(ax−1)>0，
因为x>0，所以ax−1>0，因为a>0，所以x>1a，所以x>1a2，
所以函数f(x)的定义域为(1a2,+∞).
（2）因为a=2，所以f(x)=log2(2x−x)，
令t=2x−x，则t=2(x−14)2−18，
因为x∈[1,9]，所以t∈[1,15]，
所以log21≤log2(2x−x)≤log215，
即0≤f(x)≤log215.
所以函数f(x)的值域为[0,log215].
7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1−x)(a>0,且a≠1)．
(1)求函数fx+gx的定义域；
(2)判断函数fx+gx的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数fx+gx的值域．
【解题思路】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义判断.
（3）换元后分a>1和00，得−10，且a≠1，
由fx的定义域得b,32a⊆1,+∞，所以32a>b>1.
①当01，所以1+2b−1=a无解.
（或者因为32a>1，所以1+232a−1>1，所以1+232a−1=a2无解），
故此时不存在实数a，b满足题意.
②当a>1时，因为y=1+2x−1在1,+∞上单调递减，所以函数fx=loga1+2x−1在b,32a上单调递减，
所以f32a=1fb=2，即1+2b−1=a21+232a−1=a
解得a=2或a=−13（舍），b=53.
综上，存在实数a=2，b=53.
10．（2023秋·江苏常州·高三校考开学考试）已知函数fx=logax−4ax−6a(a>0且a≠1)．
(1)当a=2时，求fx的单调增区间；
(2)是否存在α，β∈0,4a，使fx在区间α,β上的值域是logaβ,logaα？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【解题思路】（1）先求得fx的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得fx的单调增区间.
（2）对a进行分类讨论，根据函数的单调性以及fx在区间α,β上的值域，利用构造函数法，结合一元二次方程根的个数列不等式组，由此求得a的取值范围.
【解答过程】（1）a=2时，fx=log2x−8x−12，
由x−8x−12>0解得x12，
所以fx的定义域为−∞,8∪12,+∞，
函数y=x−8x−12=x2−20x+96图象开口向上，对称轴为x=10，
y=log2x在0,+∞上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知：fx的增区间为12,+∞.
（2）令gx=x−4ax−6a，则gx在0,4a上单调递减，
当a>1,且fx在区间α,β上的值域是logaβ,logaα，即gx在区间α,β上的值域是β,α.
故必须gα=αgβ=β，即α,β是gx=x的在0,4a上的两个不等实根.
而y=gx与y=x在0,4a上只有一个交点，不符合（舍）.
当00001−6a>000a0，
要使fx在1,+∞上单调递增，则y=mt2−2t+1−m在2,+∞上单调递增，
所以m>01m≤2，解得m≥12.
当m3的解集.
【解题思路】（1）解出不等式x2−4>0可得答案；
（2）根据对数型复合函数的单调性可得答案；
（3）根据对数函数的单调性可解出答案.
【解答过程】（1）由x2−4>0可得x>2或x3，所以log2x2−4>3=log28，
所以x2−4>8，x2>12，所以x>23或x3的解集为−∞,−23∪23,+∞.
18．（2023春·重庆九龙坡·高一校考阶段练习）已知a∈R，函数fx=log2x2−3x+a.
(1)若函数fx的图象经过点3,1，求不等式fx2，若对任意t∈3,4，函数fx在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【解题思路】（1）将点3,1代入fx=log2x2−3x+a可求出a，然后根据函数的单调性即得；
（2）由复合函数的单调性知fx=log2x2−3x+a在区间t,t+1上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得a≥−t2+5t−2对任意t∈3,4恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.
【解答过程】（1）由题可得f3=log232−3×3+a=1，解得a=2，
即fx=log2x2−3x+2
由fx=log2x2−3x+20x2−3x+201+x>0或1−x3，
所以a