专题4.7 指数函数与对数函数全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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考点1
指数式的化简
1．（2023秋·甘肃天水·高一校考开学考试）计算a−2b−3−3a−1b26a−3b−2的结果为（ ）
A．−2bB．−b2C．1D．b2
【解题思路】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，原式=−3a−3b−16a−3b−2=−12b−1=−b2.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）计算2−12+(−4)02+12−1−(1−5)0，结果是（ ）
A．1B．22C．2D．2−12
【解题思路】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【解答过程】2−12+(−4)02+12−1−(1−5)0=12+12+(2+1)−1=22.
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）51160.5−21027−23−2−132的值是 2516 .
【解题思路】根据指数幂的运算求解.
【解答过程】由题意可得：51160.5−21027−23−2−132=9420.5−433−23−123
=94−43−2−18=178−916=2516.
故答案为：2516.
4．（2023·上海·高一专题练习）计算下列各式：
(1)2350+2−2×214−12−0.010.5；
(2)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748；
(3)254−3338+40.0625+0.06413−2.525−π0；
(4)a23b12−3a12b1313a16b56a>0,b>0.
【解题思路】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.
【解答过程】（1）原式=1+122×4912−10−212=1+14×23−110=1615.
（2）原式=25912+10−1−2+276423−3+3748 =53+100+916−3+3748 =100.
（3）原式=52−27813+40.54+0.4−1−1 =52−32+0.5+52−1 =3.
（4）原式=−9a23+12−16b12+13−56=−9a.
5．（2023·全国·高一专题练习）计算：
(1)a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3a>0,b>0；
(2)0.064−13−−720+−2−433+16−0.75+−0.0112.
【解题思路】运用指数幂的运算法则对（1）（2）进行求解即可.
【解答过程】（1）a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3=a−45⋅b35⋅a45b35=1；
（2）0.064−13−−720+−2−433+16−0.75+−0.0112=253−13−1+−2−4+24−0.75+0.1
=52−1+116+18+110=14380.
考点2
指数式的给条件求值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知m12+m−12=4，则m32−m−32m12−m−12的值是（ ）
A．15B．12C．16D．25
【解题思路】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【解答过程】因为m12+m−12=4，
所以m+m−1=(m12+m12)2−2=16−2=14，
又由立方差公式，m32−m−32m12−m−12=(m12−m−12)(m+m12⋅m−12+m−1)m12−m−12=m+1+m−1=15，
故选：A．
2．（2023秋·全国·高二随堂练习）若00，
所以ab+a−b=22.
故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知a+1a=4，则a2+a−2= 194 .
【解题思路】将a+1a=4平方可得a+1a=14，再将该式平方可得答案.
【解答过程】由a+1a=4得(a+1a)2=16，即a+1a=14，
故(a+1a)2=196，所以a2+2+1a2=196，则a2+1a2=194，
即a2+a−2=194，
故答案为：194.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知a=−827,b=1771，求a23+3a13b13+33b2a43−27a13b÷a133a−33b的值．
【解题思路】利用指数的定义、性质、运算法则直接求解．
【解答过程】因为a≠0,a−27b≠0，
∴ a23+3a13b13+(33b)2a43−27a13b÷a133a−33b
=a23+3a13b13+9b23a43−27a13b×a13−3b13a13
=a+3a23b13+9a13b23−3a23b13−9a13b23−27ba53−27a23b
=a−27ba23(a−27b)=1a23=1(−827)23=1(−23)2=94．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知a12+a−12=3，求下列各式的值：
(1)a+a−1；
(2)a2+a−2−2a32+a−32−3．
【解题思路】（1）将a12+a−12=3两边平方，即可求得答案；
（2）将a+a−1=7两边平方，求得a2+a−2=47，再根据立方和公式求得a32+a−32的值，即可求得答案.
【解答过程】（1）将a12+a−12=3两边平方，得a+a−1+2=9，即a+a−1=7；
（2）将a+a−1=7两边平方，得a2+a−2+2=49，即a2+a−2=47；
a32+a−32=a123+a−123=a12+a−12a−a12⋅a−12+a−1
=3a+a−1−1=3×7−1=18,
所以a2+a−2−2a32+a−32−3=47−218−3=3．
考点3
带附加条件的指、对数问题
1．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知2a=15,lg83=b，则2a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
【解题思路】先由对数公式把a,b化简，然后代入2a−3b即可求解.
【解答过程】由题意可得2a=15⇒a=lg215，b=lg83=lg233=13lg23，
所以a−3b=lg215−3×13lg23=lg215−lg23=lg2153=lg25，
所以2a−3b=2lg25=5.
故选：B.
2．（2023秋·重庆九龙坡·高一校考期末）设alg29=3，则3−2a=（ ）
A．116B．19C．18D．16
【解题思路】根据对数的运算性质及指数与对数的关系得到9a=8，即可得解.
【解答过程】由alg29=3可得lg29a=3，所以9a=23=8，
所以3−2a=9−a=19a=18.
故选：C.
3．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知a,b满足lg92a−1=5−2a，2⋅3b−1+b=9，则b+4a=
11 ．
【解题思路】由对数的运算性质，化简得到lg32a−1=10−4a，设t=lg32a−1，得到2⋅3t+t=8，又由2⋅3b−1+b=9，得到2⋅3b−1+b−1=8，结合fx=2⋅3x+x的单调性，得到t=b−1，进而求得b+4a的值．
【解答过程】由lg92a−1=5−2a，可得2a−1>0，即a>12，
且lg92a−1=lg32a−1lg39=lg32a−12=5−2a，可得lg32a−1=10−4a，
设t=lg32a−1，则2a=3t+1，原式化为t=10−23t+1，即2⋅3t+t=8，
又由2⋅3b−1+b=9，可得2⋅3b−1+b−1=8，
令函数fx=2⋅3x+x，显然fx为增函数，所以t=b−1，
则2a=3t+1=3b−1+1=9−b2+1，所以b+4a=11．
故答案为：11.
4．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知lg189=a，18b=5，求lg1845.（用a,b表示）
（2）已知lg94=a，9b=5，求lg3645.（用a,b表示）
【解题思路】（1）由指数式与对数式的关系可得lg185=b，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得lg95=b，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【解答过程】（1）因为18b=5，所以lg185=b，
所以lg1845=lg189+lg185=a+b.
（2）因为9b=5，所以lg95=b，
所以lg3645=lg945lg36 =lg95×9lg94×9 =lg95+lg99lg94+lg99 =b+1a+1.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知实数a，b满足3a=2，blg34=1．
(1)用a表示lg34−lg36；
(2)计算9a+9−a+4b+4−b的值．
【解题思路】根据对数的运算法则及性质求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知a=lg32，
所以lg34−lg36=lg323=lg32−1=a−1．
（2）因为b=1lg34=lg43，
所以9a+9−a+4b+4−b=9lg32+9−lg32+4lg43+4−lg43=4+14+3+13=9112．
考点4
解指数不等式
1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）设函数f(x)=1,x≤0,3x,x>0,则满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是（ ）
A．(−1,0)B．(1,+∞)C．(0,1)D．(−1,1)
【解题思路】分为x≤−1，−10三种情况讨论求解不等式即可.
【解答过程】当x≤−1时，x+1≤0,2x≤−2,fx+1=1,f2x=1，则f(2x)>f(x+1)不成立；
当−10,2x≤0,fx+1=3x+1,f2x=1，
由f(2x)>f(x+1)，得3x+10,fx+1=3x+1,f2x=32x，
由f(2x)>f(x+1)，得32x>3x+1，则2x>x+1，得x>1．
综上，满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1,+∞)．
故选：B．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=ax（a>0且a≠1），若f−31，再利用单调性即可求出结果.
【解答过程】因为函数fx=ax定义域为R，且f−x=a−x=fx，
所以函数fx为偶函数，
则fx=fx，
因为f−34，进而求出x的取值范围．
【解答过程】（1）∵函数fx=a⋅bx的图像经过点A1,2，B2,4，
∴ab=2ab2=4，解得a=1b=2，
∴fx=2x；
（2）因为函数fx=2x在R上单调递增，
所以不等式fx2+3x>f4，等价于x2+3x>4，
解得x1，
即不等式的解集为{x|x1}．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=4x+m⋅2x，m∈R．
(1)若m=−3，解关于x的不等式fx>4；
(2)若函数y=fx+f−x的最小值为-4，求m的值．
【解题思路】（1）因式分解得到2x+12x−4>0，结合2x+1>0，得到2x−4>0，求出解集；
（2）变形得到y=gt=t2+m⋅t−2=t+m22−m24−2，t≥2，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值.
【解答过程】（1）m=−3时，由fx=4x−3×2x>4得，
4x−3×2x−4>0，2x+12x−4>0，
因为2x+1>0，所以2x−4>0，解得x>2，
所以原不等式的解集为2,+∞．
（2）因为y=fx+f−x=4x+4−x+m⋅2x+2−x=2x+2−x2+m⋅2x+2−x−2，
令t=2x+2−x，因为2x>0，
所以t=2x+2−x≥22x⋅2−x=2，（当且仅当x=0时取得等号）
则y=gt=t2+m⋅t−2=t+m22−m24−2，t≥2，
①当−m2≤2，即m≥−4时，gt在2,+∞上单调递增，
当t=2，即x=0时，ymin=2m+2，
所以2m+2=−4，解得m=−3，符合题意；
②当−m2>2，即m0，则y=2⋅3x−9x+5=−t−12+6，根据二次函数性质得到最值.
【解答过程】设3x=t，t>0，则y=2⋅3x−9x+5=−t2+2t+5=−t−12+6，
当t=1，即x=0时，函数有最大值为6.
故选：C.
3．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数fx=3−x−3x，若f2a−1+f3a2>0，则实数a的取值范围是 −1,13 .
【解题思路】先得到函数的奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出解集.
【解答过程】fx=3−x−3x定义域为R，且f−x=3x−3−x=−fx，
故fx=3−x−3x为奇函数，所以f2a−1>−f3a2=f−3a2，
又fx=3−x−3x在R上单调递减，
所以2a−10时，①的对称轴t=−−22m=1m>0，
要使fx在1,+∞上单调递增，则y=mt2−2t+1−m在2,+∞上单调递增，
所以m>01m≤2，解得m≥12.
当mlg2(3x+5)，即lg2(3x−1)2>lg2(3x+5)，
因为函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，所以(3x−1)2>3x+53x−1>03x+5>0，解得x>43.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x2+4x−3,x≤2lg2x,x>2，则不等式f2x−1lga(ax1−1)，
所以f(x2)−f(x1)>0，所以fx在0,+∞上的单调递增，
所以由fx0x1，所以1+232a−1=a2无解），
故此时不存在实数a，b满足题意.
②当a>1时，因为y=1+2x−1在1,+∞上单调递减，所以函数fx=lga1+2x−1在b,32a上单调递减，
所以f32a=1fb=2，即1+2b−1=a21+232a−1=a
解得a=2或a=−13（舍），b=53.
综上，存在实数a=2，b=53.
5．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fx=lg19a−x2+bx，gx=m⋅4x−2x+2+3.
(1)若y=lggx的值域为R，求满足条件的整数m的值；
(2)若非常数函数fx是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数y=lggx的值域为R，可得函数gx的值域包含0,+∞，再分m=0，m>0和m−12，则只要fxmin+12>gxmin即可，求出函数fx的最小值，再从m分情况讨论，结合二次函数的性质求出gx的最小值即可.
【解答过程】（1）因为函数y=lggx的值域为R，
所以函数gx的值域包含0,+∞，
gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3，
当m=0时，gx=−2x+2+3，其值域为−∞,3，不满足条件，
当m≠0时，令t=2x,t∈0,+∞，
则函数y=mt2−4t+3的对称轴为t=2m，
当m>0时，ymin=m⋅2m2−4⋅2m+3=3−4m，
即gx的值域为3−4m,+∞，
所以3−4m≤0m>0，解得0