专题5.1 任意角和弧度制-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9828" 【题型1 终边相同的角的表示】 PAGEREF _Tc9828 \h 4
\l "_Tc989" 【题型2 象限角的判定】 PAGEREF _Tc989 \h 4
\l "_Tc8599" 【题型3 角度与弧度的换算】 PAGEREF _Tc8599 \h 7
\l "_Tc17193" 【题型4 角的终边的对称问题与垂直问题】 PAGEREF _Tc17193 \h 7
\l "_Tc22179" 【题型5 弧长公式与扇形面积公式的应用】 PAGEREF _Tc22179 \h 7
\l "_Tc14928" 【题型6 与弧度有关的实际应用问题】 PAGEREF _Tc14928 \h 9
【知识点1 任意角】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
(3)角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
(4)角的相等
设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=.
(5)角的加、减法
①角的加法
设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+.
②相反角的概念
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-.
③角的减法
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以
转化为角的加法.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
③轴线角的集合表示
(3)区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
(4)角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
【题型1 终边相同的角的表示】
【例1】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）下列各角中，与43∘角终边重合的是（ ）
A．137∘B．143∘C．−317∘D．−343∘
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列各组中，终边相同的是（ ）
A．2k+1π与4k+12πk∈ZB．kπ+π3与kπ−π3k∈Z
C．kπ+π2与kπ−π2k∈ZD．2kπ+2π3与2kπ−2π3k∈Z
【变式1-2】（2023春·四川巴中·高一统考期中）若角α、β的终边相同，则α−β的终边在（ ）．
A．x轴的正半轴上B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上D．y轴的负半轴上
【变式1-3】（2023春·江西抚州·高一校考期末）若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）
A．α=β±180°B．α=−β
C．α=β+k⋅180°,k∈ZD．α=β+k⋅360°+180°,k∈Z
【题型2 象限角的判定】
【例2】（2023春·高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，855°是第几象限角（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【变式2-1】（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）给出下列四个命题：①−π3是第四象限角；②5π4是第三象限角；③−13π6是第二象限角；④7π2是第一象限角．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-2】（2023秋·江西·高二校考开学考试）若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−αB．180°−αC．270°−αD．−α
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）设α是第二象限角，则α3的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【知识点2 弧度制】
1．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
(3)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为
.
3．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为.
(1)弧长公式
由公式，可得.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
4．弧度制下角的终边的对称与垂直
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
【题型3 角度与弧度的换算】
【例3】（2023秋·江西赣州·高二校考开学考试）将−315∘化为弧度制，正确的是（ ）
A．−5π3B．−5π4C．−7π4D．π4
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成α+2kπ0≤α