专题5.3 诱导公式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27695" 【题型1 三角函数的诱导公式】 PAGEREF _Tc27695 \h 2
\l "_Tc23877" 【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】 PAGEREF _Tc23877 \h 3
\l "_Tc19618" 【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 PAGEREF _Tc19618 \h 5
\l "_Tc30044" 【题型4 诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc30044 \h 6
\l "_Tc6828" 【题型5 诱导公式在三角形中的应用】 PAGEREF _Tc6828 \h 7
【知识点1 诱导公式】
1．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 三角函数的诱导公式】
【例1】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）cs5555°=（ ）
A．cs65°B．sin65°C．−cs65°D．−sin65°
【解题思路】利用诱导公式（公式一中csα+k⋅2π=csαk∈Z、公式六中csπ2+α=−sinα）运算即可得解.
【解答过程】由题意可得：cs5555°=cs360°×15+155°=cs155°=cs90°+65°=−sin65°，
故选：D.
【变式1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若csπ4+α=13，则sinπ4−α=（ ）
A．223B．−223C．13D．−13
【解题思路】以π4+α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：sinπ4−α=sinπ2−π4+α=csπ4+α=13.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知sinθ+π6=12，则csθ+2π3=（ ）
A．−32B．32C．12D．−12
【解题思路】以θ+π6为整体，利用诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：csθ+2π3=csθ+π6+π2=−sinθ+π6=−12.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·重庆荣昌·高三校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．tanπ+1=−tan1B．sin−αtan360∘−α=csα
C．sinπ−αcsπ+α=tanαD．csπ−αtan−π−αsin2π−α=1
【解题思路】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【解答过程】对于A，由诱导公式得，tanπ+1=tan1，故A错误；
对于B，sin−αtan360∘−α=−sinα−tanα=sinαsinαcsa=csα，故B正确；
对于C，sinπ−αcsπ+α=sinα−csα=−tanα，故C错误；
对于D，csπ−αtan−π−αsin2π−α=−csα−tanα−sinα=−csα⋅sinαcsαsinα=−1，故D错误.
故选：B.
【题型2 三角函数的化简、求值——诱导公式】
【例2】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)1−2sin3−πcs3−π；
(2)1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°．
【解题思路】（1）（2）根据诱导公式结合同角三角函数的关系计算得到答案.
【解答过程】（1）1−2sin3−πcs3−π=sin23+cs23−2sin3cs3=sin3−cs32
=sin3−cs3，
sin3>0，cs30，
故1−2sin3−πcs3−π=sin3−cs3.
（2）1−2sin190°cs190°cs170°+1−cs2170°=sin190°−cs190°2cs170°+sin2170°=sin190°−cs190°cs170°+sin170°
=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−sin10°+cs10°−cs10°+sin10°=−1.
【变式2-1】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各值.
(1)sin120°；
(2)cs135°；
(3)cs(−19π4).
【解题思路】利用诱导公式求得正确答案.
【解答过程】（1）sin120°=sin(90°+30°)=cs30°=32.
（2）cs135°=cs90°+45°= −sin45°=−22.
（3）cs(−19π4)=cs19π4=cs(3π4+4π)=cs3π4 =cs(π2+π4)=−sinπ4=−22.
【变式2-2】（2023秋·北京·高三校考开学考试）已知sinα=255，α∈π2,π，求tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α的值.
【解题思路】根据三角函数的基本关系式，求得csα=−55，得到tanα=−2，结合诱导公式，即可求解.
【解答过程】因为sinα=255>0且α∈π2,π，且α为第二象限角，
所以csα=−1−sin2α=−55，可得tanα=sinαcsα=−2，
又由tanα+π+sin5π2+αcs5π2−α=tanα+csαsinα=−2−12=−52.
【变式2-3】（2023秋·辽宁大连·高三校考阶段练习）已知fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a．
(1)若fa=−12，且a∈0,π，求a的值；
(2)若fa+π3=14，求sin22π3−a+sinπ6−a的值．
【解题思路】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；
（2）依题意可得csa+π3=14，然后利用诱导公式和平方关系可得.
【解答过程】（1）fa=sin2π−acsπ2−acsa−3π2tanπ+a=−sina⋅sina−sina⋅sinacsa=csa，
因为fa=−12，所以csa=−12，
又a∈0,π，所以a=2π3．
（2）由（1）知fa+π3=csa+π3，
因为fa+π3=14，所以csa+π3=14，
令x=a+π3，则csx=14，a=x−π3，
所以sin22π3−a+sinπ6−a
=sin2π−x+sinπ2−x
=sin2x+csx=1−cs2x+csx=1916.
【题型3 三角函数恒等式的证明——诱导公式】
【例3】（2023·高一课时练习）求证：sin2π−αcsπ+αcsπ2+αcs11π2−αcsπ−αsin3π−αsin−π−αsin9π2+α=−tanα．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【解答过程】左边=−sinα⋅−csα−sinα−sinα−csα⋅sinα⋅sinα⋅csα=–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式3-1】（2023秋·全国·高一随堂练习）设tanα+8π7=m.求证：sinα+15π7+3csα−13π7sin−α+20π7−csα+22π7=m+3m+1.
【解题思路】由题意从所求式子的左边出发，把tanα+8π7=m作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边.
【解答过程】证明：左边=sinπ+α+8π7+3csα+8π7−3πsin4π−α+8π7−cs2π+α+8π7 =−sinα+8π7−3csα+8π7−sinα+8π7−csα+8π7 =tanα+8π7+3tanα+8π7+1
把tanα+8π7=m代入，得原式=m+3m+1=右边，故原等式成立.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）求证：2sin(θ−3π2)cs(θ+π2)−11−2sin2θ=tan(9π+θ)+1tan(π+θ)−1.
【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【解答过程】左边=−2csθ⋅sinθ−1sin2θ+cs2θ−2sin2θ=−(sinθ+csθ)2(csθ+sinθ)(csθ−sinθ)=sinθ+csθsinθ−csθ，
右边=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)−1=tan(π+θ)+1tan(π+θ)−1=tanθ+1tanθ−1=sinθcsθ+1sinθcsθ−1=sinθ+csθsinθ−csθ，
所以等式成立.
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知A、B、C是△ABC的三个内角，求证；
（1）cs(2A+B+C)+csA=0；
（2）tanA+B4+tan3π+C4=0.
【解题思路】(1)根据2A+B+C=π+A，结合诱导公式即可证明；
(2)根据A+B4=π−C4=π−3π+C4，结合诱导公式即可证明.
【解答过程】(1)cs(2A+B+C)+csA =cs[(A+B+C)+A]+csA=cs(π+A)+csA
=−csA+csA =0.
(2)tanA+B4+tan3π+C4 =tanπ−C4+tan3π+C4=tanπ−3π+C4+ tan3π+C4
=−tan3π+C4+tan3π+C4=0.
【题型4 诱导公式的综合应用】
【例4】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知角α终边上一点P−2,3，则cs π2+αsin π+αcs π−αsin 3π+α的值为（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
【解题思路】由任意角三角函数的定义求出tanα，再由诱导公式化简代入即可得出答案.
【解答过程】因为角α终边上一点P−2,3，所以tanα=−32
csπ2+αsinπ+αcsπ−αsin3π+α=−sinα⋅−sinα−csα⋅−sinα=tanα=−32.
故选：B.
【变式4-1】（2023春·江西抚州·高一统考期末）设a=cs35π，b=sin−95π，c=tan−34π，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得a