高一上学期第一次月考十四大题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份高一上学期第一次月考十四大题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含高一上学期第一次月考十四大题型归纳基础篇原卷版docx、高一上学期第一次月考十四大题型归纳基础篇解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

题型1
判断是否为同一集合
1．（2023秋·高一单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员
B．小于2的正整数
C．数学必修第一册课本上的难题
D．所有有理数
2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①2的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·上海·高一专题练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于5的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式2x+1>7的整数解．
4．（2023·全国·高一专题练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
题型2
判断元素与集合的关系
1．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）已知集合A=xx2=x，下列说法正确的是（ ）
A．−1∈AB．1∈AC．0∉AD．2∈A
2．（2023秋·高一课时练习）给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③−3∉Z；④−7∉N，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．（2023秋·高一课时练习）已知集合M=x|x=a+b2,a,b∈Z，判断3,2−2,32是否是集合M中的元素，请说明理由．
4．（2023·全国·高一假期作业）集合A={x∣x=2m+n,m∈Z,n∈Z}，判断下列元素x是否属于集合A：
(1)x=0；
(2)x=12+1；
(3)x1∈A,x2∈A,x=x1+x2．
题型3
判断两个集合是否相等
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M=1,0，则与集合M相等的集合为（ ）
A．x,yx−y=−1x+y=1B．x,y|y=x−1+1−x
C．xx=−1n−12,n∈ND．x−12．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）设Q所示有理数集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0，在下列集合中：①2xx∈X；②x2x∈X；③1xx∈X；④x2x∈X；与X相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
3．（2023春·高一统考阶段练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.
(1)A=2,4,6，B=4,2,6；
(2)A=2,3，B=3,2；
(3)A=x|x>3，B=t|t>3；
(4)A=y|y=2x,x∈R，B=x,y|y=2x,x∈R.
4．（2023·全国·高一专题练习）设A=x,x2,xy,B={1,x,y}，且A=B，求实数x，y的值．
题型4
集合间关系的判断
1．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k−2,k∈Z}，则（ ）
A．S⊂≠TB．T⊆SC．S=TD．S⊄T
2．（2023秋·高一课时练习）若集合A=x|x=2k+1,k∈Z，B=x|x=2k−1,k∈Z，C=x|x=4k−1,k∈Z，则A,B,C的关系是（ ）
A．C⊂≠A=BB．A⊆C⊆B
C．A=B⊂≠CD．B⊆A⊆C
3．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：
(1)A=x−1(2)A=xx=2n,n∈Z，B=xx=4n,n∈Z；
(3)A=xx2−x=0，B=xx=1+−1n2,n∈Z．
4．（2023秋·高一课时练习）指出下列各组集合之间的关系：
①A=−1,1，B=−1,−1,−1,1,1,−1,1,1；
②A=xx是等边三角形}，B=xx是等腰三角形}；
③M=xx=2n−1,n∈N∗，N=xx=2n+1,n∈N∗.
题型5
集合的运算
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知集合A=x−4A．0,1,2B．−1,0,1,2C．x−42．（2023秋·黑龙江·高三校考阶段练习）已知集合U=−2,−1,0,1,2，A=x∈N−2A．∅B．−2,−1C．−2,−1,0D．−2,2
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x|3≤x<7},B={x|04．（2023秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知集合S=x1(1)A∩B，A∪B；
(2)∁SA∩∁SB．
题型6
判断命题的真假
1．（2023秋·陕西宝鸡·高二校联考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C．存在一个实数x，使得x<0
D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0
2．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·高一课时练习）判断下列命题的真假：
（1）若a=b，则a2=b2；
（2）若a2=b2，则a=b；
（3）全等三角形的面积相等
（4）面积相等的三角形全等.
4．（2023·江苏·高一专题练习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)偶数不能被2整除；
(2)当a−12+b−12=0时，a=b=1；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
题型7
充分条件、必要条件及充要条件的判定
1．（2023·全国·高一专题练习）已知a,b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知p：0A．1C．03．（2023·全国·高一课堂例题）若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？
4．（2023·全国·高一专题练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）．
(1)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除；
(2)p:x>1，q:x2>1；
(3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；
(4)a,b∈R，p:ab=ab，q:ab>0.
题型8
全称量词命题与存在量词命题的真假
1．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）下列命题中，是真命题且是全称命题的是（ ）
A．对任意实数a，b，都有a2+b2−2a−2b+2<0
B．梯形的对角线不相等
C．∃x0∈R,x02=x0
D．所有的集合都有子集
2．（2023·全国·高一专题练习）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2
3．（2023秋·高一课时练习）判断下列命题的真假.
(1)∀x∈R，x2+2x+1>0；
(2)∃x∈Z，使3x+4=5；
(3)至少有一组正整数a，b，c满足a2+b2+c2≤3.
4．（2023秋·全国·高一随堂练习）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t，t为正且t(2)存在实数x，使得x2−3x−4=0；
(3)存在实数对(x,y)，使得3x−4y−5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
题型9
命题的否定
1．（2023·全国·高一专题练习）命题“∀x∈R，x2−2x≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2−2x<0B．∀x∉R，x2−2x≥0
C．∃x∈R，x2−2x≥0D．∀x∈R，x2−2x<0
2．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知命题¬p：∃a∈R，aπ−πa>0，则（ ）
A．p：∃a∉R，aπ−πa>0B．p：∀a∉R，aπ−πa≤0
C．p：∃a∈R，aπ−πa≤0D．p：∀a∈R，aπ−πa≤0
3．（2023秋·高一课时练习）写出下列各命题的否定.
(1)p：对任意的正数x，x>x−1；
(2)q：三角形有且仅有一个外接圆；
(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)s：有些质数是奇数.
4．（2023·全国·高一课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)∀x∈R，x+1−x≠0；
(2)∃a∈R，一次函数y=x+a的图象经过原点；
(3)每一个素数都是奇数；
(4)某些平行四边形是菱形；
(5)可以被5整除的数，末位上是0．
题型10
利用不等式的性质判断正误
1．（2023秋·高一课时练习）已知a>b,c>d，且cd≠0，则（ ）
A．ad>bc B．ac>bc
C．a−c>b−d D．a+c>b+d
2．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（ ）
A．若a>b，则1a<1bB．若a>b，则ac2>bc2
C．若a>b,ab≠0，则1ab2>1a2bD．若a>b，c>d，则ac>bd
3．（2023·高一课时练习）对于实数a,b,c,判断下列命题的真假:
(1)若a>b,则ac(2)若ac2>bc2,则a>b;
(3)若a|b|.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果c−a>c−b，那么a(2)若ab>c，b>0，则a>cb；
(3)若ac>bc，则a>b；
(4)若a>b，c>d，则a−c>b−d．
题型11
由基本不等式比较大小
1．（2023·全国·高一专题练习）已知a、b为正实数，A=a+b2,2H=1a+1b,G=ab，则（ ）
A．G≤H≤AB．H≤G≤A
C．G≤A≤HD．H≤A≤G
2．（2023·全国·高一专题练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中m1、m2分别为左、右盘中物体质量，L1、L2分别为左右横梁臂长．
A．等于10gB．小于10gC．大于10gD．不确定
3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：a2+b2a+b、a2+b22、a+b2等．判断上述三者的大小关系，并证明.
4．（2023·江苏·高一假期作业）某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价p+q2%，第二次提价p+q2%.
其中p>q>0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
题型12
利用基本不等式求最值
1．（2023秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知x>3，则y=x+1x−3的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（ ）
A．yx+3y的最小值为4B．xy的最大值为98
C．x+2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92
3．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值
(1)已知x>1，求fx=x+4x−1的最小值；
(2)已知x>0,y>0，且满足8x+1y=1，求x+2y的最小值；
4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知正实数a,b满足2a+b=ab．
(1)求a+2b的最小值；
(2)求ab的最小值．
题型13
一元二次不等式的解法
1．（2023·全国·高一专题练习）不等式−x2+3x+10>0的解集为（ ）
A．{x|−2B．{x|x<−2或x>5}
C．{x|−5D．{x|x<−5或x>2}
2．（2023·全国·高一专题练习）不等式ax2−a+2x+2≥0a<0的解集为（ ）
A．{x|2a≤x≤1}B．{x|1≤x≤1a}
C．{x|x≤2a或x≥1}D．{x|x≤1或x≥2a}
3．（2023秋·贵州黔东南·高一校考阶段练习）用适当的方法求解下列一元二次方程.
(1)x2−2x+1=0；
(2)2x2+4x+3=0；
(3)x2−4x−12=0；
(4)x2−6x−91=0.
4．（2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式：
(1)ax2−2(a+1)x+4<0
(2)(a−1)x+(2−a)x−2>0
题型14
三个“二次”关系的应用
1．（2023·全国·高一专题练习）不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c≥0的解集为（ ）
A．x0B．∅C．xx≠x0D．R
3．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．
(1)若不等式ax2−5x+b>0的解集为−23,14，求不等式ax2+5x+b<0的解集；
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2)，求不等式cx2−bx+a>0的解集．
4．（2022秋·广东深圳·高一校考期中）已知二次函数f(x)=ax2+bx+2b−a2(a,b∈R)，当x∈(−1,3)时，f(x)>0；当x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)，f(x)<0．
（1）求a，b的值；
（2）解关于x的不等式：ax2+(b−c)x+2c>0 (c∈R)；
（3）若不等式f(x)+mx−5<0在x∈[1,3]上恒成立，求m的取值范围．