高一上学期期中考试填空题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）已知集合A=t,t+1∪t+4,t+9，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有λa∈A，则t的值是 1或−3 .
【解题思路】根据t所处的不同范围，得到a∈t,t+1和a∈t+4,t+9时，λa所处的范围；再利用集合A的上下限，得到λ与t的等量关系，从而构造出方程，求得t的值.
【解答过程】∵0∉A，则只需考虑下列三种情况：
①当t>0时，a∈t,t+1∪t+4,t+9，
∴1a∈1t+9,1t+4∪1t+1,1t，
又λ>0 ⇒λa∈λt+9,λt+4∪λt+1,λt，
∵λa∈A，∴λt+9≥tλt+4≤t+1且λt+1≥t+4λt≤t+9，
可得：tt+9≤λ≤tt+9t+1t+4≤λ≤t+1t+4，
∴λ=tt+9=t+1t+4 ⇒t=1；
②当t+90时，fx≤x即：−x2+2x−2a≤x，
整理可得：a≥−12x2+12x，
由恒成立的条件可知：a≥−12x2+12xmaxx>0，
结合二次函数的性质可知：
当x=12时，−12x2+12xmax=−18+14=18，则a≥18；
②当−3≤x≤0时，fx≤x即：x2+2x+a−2≤−x，整理可得：a≤−x2−3x+2，
由恒成立的条件可知：a≤−x2−3x+2min−3≤x≤0，
结合二次函数的性质可知：
当x=−3或x=0时，−x2−3x+2min=2，则a≤2；
综合①②可得a的取值范围是18,2，
故答案为18,2.
27．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）已知f(x)=|3x−1|，对于任意的实数m,n，g(x)=f(x+m)+n在区间[x0,x0+2]上的最大值和最小值分别为M和N，则M−N的取值范围为 [3,6] .
【解题思路】题目等价于f(x)=|3x−1|在区间[x0,x0+2]上M−N的取值范围，分类x0≥13，
−53f(1)，得0