高一上学期期中考试选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R，ax2+2x+3>0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a−m+2可化为mx2−mx−1>−m+2，即mx2−x+1>3，
当x∈1,3时，x2−x+1∈1,7，
所以m>3x2−x+1在x∈1,3上恒成立，
所以m>3x2−x+1max其中x∈1,3，
当x=1时x2−x+1有最小值为1，此时3x2−x+1有最大值为3，
所以m>3，
故实数m的取值范围是3,+∞，
故选：D.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足−4≤x−y≤−1，−1≤4x−y≤5，则z=9x−y的取值范围是（ ）
A．z−7≤z≤26B．z−1≤z≤20
C．z4≤z≤15D．z1≤z≤15
【解题思路】令m=x−y，n=4x−y，可得z=9x−y=83n−53m，再根据m,n的范围求解即可.
【解答过程】令m=x−y，n=4x−y，则x=n−m3y=n−4m3，所以z=9x−y=83n−53m．因为−4≤m≤−1，所以53≤−53m≤203．因为−1≤n≤5，所以−83≤83n≤403，所以−1≤z≤20.
故选：B.
5．（2023春·安徽合肥·高一校联考期末）已知命题p：x2−3x−10>0，命题q：x＞m2﹣m+3，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）
【解题思路】由¬p是¬q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件, 由x2−3x−10>0得x>5或x0得x>5或xbC．b>c≥aD．c>b>a
【解题思路】根据等式a2=2a+c−b−1可变形为(a−1)2=c−b，利用完全平方可得c,b大小，由a+b2+1=0得a=−b2−1，做差b−a，配方法比较大小.
【解答过程】由a+b2+1=0可得a=−b2−1，则a≤−1，
由a2=2a+c−b−1可得(a−1)2=c−b>0，利用完全平方可得
所以c>b，
∴b−a=b2+b+1=(b+12)2+34>0，
∴b>a，
综上c>b>a，
故选：D.
11．（2023·全国·高一专题练习）函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]=1,[−2.3]=−3,[3]=3．那么不等式4[x]2−12[x]+5≤0成立的充分不必要条件是（ ）
A．[12,52]B．[1,2]C．[1,3)D．[1,3]
【解题思路】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解答过程】因为4[x]2−12[x]+5≤0，则2x−12x−5≤0，则12≤x≤52，
又因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以不等式4[x]2−12[x]+5≤0的解集为：1≤x0的解集为A，不等式bx−x1x−x2≥0的解集为B，其中a、b是非零常数，则“ab0.
①若x1=x2，不等式ax−x1x−x2>0即为x−x12>0，则A=xx≠x1，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x12≥0，得B=R，A⊆B，A∪B=B=R；
②若x1≠x2，不妨设x10即为x−x1x−x2>0，则A=−∞,x1∪x2,+∞，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x1x−x2≥0，得B=−∞,x1∪x2,+∞，A⊆B，则A∪B=B≠R；
（2）同理可知，当a0，则A=xx≠x1，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x12≤0，则B=x1，此时，A∪B=R；
②若x1≠x2，不妨设x10即为x−x1x−x2>0，则A=−∞,x1∪x2,+∞，不等式bx−x1x−x2≥0即为x−x1x−x2≤0，则B=x1,x2，此时，A∪B=R；
（4）同理，当a0时，A∪B=R.
综上所述，“aby恒成立的是（ ）
A．x+2y>y+1xB．x+12y>y+1xC．x−2y>y−1xD．x−12y>y−1x
【解题思路】特殊化的方法，取x=y可判断A，取x→0，y=1可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确.
【解答过程】对于A，取x=y，该不等式成立，但不满足x>y；
对于C，该不等式等价于x+1x>y+2y，取x→0，y=1，该不等式成立，但不满足x>y；
对于D，该不等式等价于x+1x>y+12y，取x→0，y=1，该不等式成立，但不满足x>y；
下面证明B
法一
不等式等价于x−1x>y−12y，而x−1x>y−12y>y−1y.
函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单增，故x>y.
法二
若x≤y，则12ya>ab2 D．ab>ab2>a
【解题思路】通过观察三个数的特征可知ab最大，再利用作差法判断即可得出结果.
【解答过程】由选项可知，仅需要比较a,ab,ab2三个数的大小，
显然， a0,ab20，函数y=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，当x=m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，ax2+bx+c≤MB．∃x∈R，ax2+bx+c≥M
C．∀x∈R，ax2+bx+c≤MD．∀x∈R，ax2+bx+c≥M
【解题思路】由a>0知抛物线开口向上，x=m是其对称轴，且M为函数的最小值，进而对选项进行判断.
【解答过程】方程2ax+b=0的解为m=−b2a.由当x=m时的函数记为M知A、B为真命题；
∵a>0，∴函数y=ax2+bx+c在x=−b2a=m处取得最小值.
∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值，因此D为真命题，C为假命题.
故选：C.
17．（2023·上海·高一专题练习）以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）−1∉P；（4）若x、y∈P，则x+y∈P．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P中一定有0但没有2B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2D．集合P中既没有0又没有2
【解题思路】由（4）得x∈P，则kx∈P（k是正整数），由（1）可设x,y∈P，且x>0，y0，ya3>a2=0，从而a42>a4，
所以a42>a3>a2，即a42∉a2,a3，
从而a2,a3=a12,a22，
所以a2=0=a22，a3=a12=a32，
所以a3=0或a3=1，又a3>a2=0，
所以a3=1，a1=−a3=−1，
又A∪B=a1,a2,a3,a4,a42，
所以a1+a2+a3+a4+a42=56，
由a1=−1,a2=0,a3=1代入可得：
a4+a42=56，所以a4=7或a4=−8（舍），
所以a3+a4=8，
故选：A.
20．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以(−1)k再求和，例如A={2,3,8}，则可求得和为(−1)2⋅2+(−1)3⋅3+(−1)8⋅8=7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508B．512C．1020D．1024
【解题思路】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是27(−1+2−3+4−5+6−7+8)=512.
【解答过程】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S的所有非空子集中分别出现27次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以(−1)k再求和操作,则这些和的总和是27[(−1)1×1+(−1)2×2+(−1)3×3+(−1)4×4+(−1)5×5+(−1)6×6+(−1)7×7+(−1)8×8] =27(−1+2−3+4−5+6−7+8)=512.
故选B.
21．（2023·上海·统考二模）对于正实数α，记Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1,x2∈R且x2>x1，有−α(x2−x1)y3>y2D．y3>y2>y1
【解题思路】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数y=x0.6，利用其单调性即可比较得出结果.
【解答过程】由题意可知，y1=111.2=1120.6=1210.6，
y2=81.4=231.4=24.2=270.6=1280.6，
因为y=x0.6在0,+∞上是增函数，130>128>121，所以y3>y2>y1.
故选：D.
23．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）已知集合Rn={X|X=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋅⋅⋅,n}(n≥2).对于A=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)∈Rn，B=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)∈Rn，定义A与B之间的距离为d(A,B)=
|a1−b1|+|a2−b2|+⋅⋅⋅+|an−bn|=i=1n|ai−bi|.若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【解题思路】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}，得解.
【解答过程】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，
已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)},
故集合M中元素个数最大值为4，
故选：A.
24．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）已知f(x)，g(x)，ℎ(x)为一次函数，若对实数x满足f(x)+g(x)−ℎ(x)=2x−1,x