高一上学期期中数学试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：3x+2>5，q：−2x−3>−5
B．p：a>2,bb
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax=1有唯一解
【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答过程】对于A，p:3x+2>5⇒x>1，q:−2x−3>−5⇒x2,bb；当a=1,b=0时，满足a>b，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若a≠0，则关于x的方程ax=1有唯一解；若关于x的方程ax=1有唯一解，则a≠0，
所以p⇔q，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
2．（5分）（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数fx=0,x1，
所以ab+a+b=2a+3b+7=4b+14b−1+3b+7
=3(b−1)+18b−1+14
≥23(b−1)⋅18b−1+14=66+14，
当且仅当3(b−1)=18b−1，即b=6+1时取等号，
所以ab+a+b≥14+66，所以D正确，
故选：ACD.
12．（5分）（2022秋·河北沧州·高一统考期中）已知函数fx满足对任意x1,x2∈0,+∞，都有fx1x2=fx1−fx2，且当x>1时，fx>0，函数Fx是定义域为R的偶函数，满足Fx+4=Fx，且当x∈0,2时，Fx=fx，则（ ）
A．F1=0B．F2022=F−12
C．Fx在−2,0上单调递增D．F−921时，fx>0可得fx在0,+∞上单调递增，所以Fx在0,2上单调递增，根据偶函数性质可得C错误；利用函数Fx的周期性和单调性即可得出D正确.
【解答过程】对于A，取x2=x1>0，可得f1=fx1−fx1=0，因为1∈0,2，所以F1=f1=0，故A正确；
对于B，取x1=2x2，可得
fx1x2=f2=fx1−fx2>0,fx2x1=f12=fx2−fx1=−f2x2>0，因为x1x2>1，
所以fx1−fx2=fx1x2>0，所以fx在0,+∞上单调递增，
又x∈0,2时，Fx=fx，则Fx在0,2上单调递增，
再由Fx是偶函数性质可得Fx在−2,0上单调递减，故C错误；
对于D，F−10=F10=F2,F−92=F92=F12+4=F12,
F3=F−1+4=F−1=F1，
因为Fx在0,2上单调递增，所以F122，此时A⊆B，符合题意；
当A≠∅时，即2a−1≤a+1，解得a≤2，所以2a−1≥0a+1≤3，解得：12≤a≤2；
所以实数a的取值范围是[12,+∞)．
若选择②，则由“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B．
当A=∅时，2a−1>a+1，解得a>2，此时A⫋B，符合题意；
当A≠∅时，2a−1≤a+1，解得a≤2，所以2a−1≥0a+1≤3且等号不同时取，解得12≤a≤2；
所以实数a的取值范围是[12,+∞)．
19．（12分）（2022·高一课时练习）（1）已知x>0,y>0，且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值；
（2）当00，求a2a+b+2b2b+a的最大值.
【解题思路】（1）由已知把x+2y变形为x+2y8x+1y，展开后用基本不等式求得最小值；
（2）分离参数化为m≤1x+11−4x恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解；
（3）令2a+b=u,2b+a=v，u,v>0，可得a=2u−v3,b=2v−u3，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值；
【解答过程】（1）由x>0,y>0，8x+1y=1可得
x+2y=x+2y8x+1y=10+xy+16yx≥10+2xy⋅16yx=18 ；
当且仅当8x+1y=1xy=16yx，即x=12y=3时，等号成立，
所以，x+2y的最小值为18
（2）不等式1x+11−4x−m≥0恒成立化为m≤1x+11−4x恒成立，
又因为00，
可得a=2u−v3,b=2v−u3，
所以，a2a+b+2b2b+a=1u⋅2u−v3+2v⋅2v−u3=2−v3u+2u3v≤2−2v3u⋅2u3v=2−223；
当且仅当v=2u时，上式取得等号，
可得a2a+b+2b2b+a的最大值为2−223．
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）设fx是定义在a,b上的函数，用分点T:a=x0