高中数学1.3 集合的基本运算优质学案设计

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知识点01：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
【即学即练1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知集合}，，则________．
【答案】
【详解】因为集合}，，
则.
故答案为：
知识点02：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
知识点03：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【即学即练3】（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，而，
所以.
故选：A
知识点04：德摩根律
(1)
(2)
知识点05：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
题型01 交集的概念及运算
【典例1】（2023·浙江·二模）若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
题型02 根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则实数的取值范围为___________.
【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2023·山东济宁·统考二模）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
题型03 并集的概念及运算
【典例1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）若集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·北京·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
题型04 根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若，则实数的取值所成的集合是
A．B．C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．
题型05补集的概念及运算
【典例1】（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）设全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）如果全集，，则
A．B．C．D．
题型06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2023·陕西商洛·校考三模）设全集，集合，，则实数的值为（ ）
A．0B．-1C．2D．0或2
【典例2】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集．，则实数的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）设集合，，，则集合B＝___．
题型07 交集、并集、补集的混合运算
【典例1】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设集合，，，则
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，求，，，.
【变式1】（2023·天津南开·统考二模）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【典例2】（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合，．
（1）若，求；
（2）已知，求实数的取值范围．
【变式1】（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)已知，求实数的取值范围．
题型09 容斥原理
【典例1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％B．56％C．40％D．30％
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）某高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）
A．B．C．D．
题型10 根据并、交、补集性质求参数（解答题）
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知全集，或，.
(1)当时，求，，；
(2)若，求实数的取值范围.
【典例2】（2023·高一单元测试）已知全集为，集合，．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
【典例3】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______求实数的取值范围.①，②③从这三个条件选一个填入横线处，并求的取值范围.
【典例5】（2023秋·四川成都·高一成都七中校考期末）设集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若且，求实数a的值．
【变式2】（2023·河北·高三学业考试）设全集，集合，.
(1)若，求，
(2)若，求实数的取值范围.
题型11 新定义题
【典例1】（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数，属同一类
【变式1】（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
本节重点方法（图的应用）
【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A．B．C．D．
本节数学思想方法（分类讨论法）
【典例1】（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
【典例2】（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若集合中仅有一个整数元素，求．
本节易错题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若集合，，且，则的值为（ ）
A．或B．或C．或或D．或或
【典例2】（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知集合，，若，则实数m的取值范围______________
1.3集合的基本运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·山东烟台·统考二模）已知集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知实数集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
4．（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C．D．
5．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）设全集，若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则 （ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·重庆·高二统考阶段练习）（多选）满足的集合可能是
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围为___________．
10．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知集合，，若，则实数a的值为______．
四、解答题
11．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求的取值范围.
12．（2023·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.
B能力提升
1．（2023秋·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
3．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）设集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
5．（2023秋·湖南娄底·高一校联考期末）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
C综合素养
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（ ）
A．，为实数的乘法B．，为整数的加法
C．，为整数的乘法D．，为多项式的加法
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（ ）
A．为，为自然数的减法
B．为，为有理数的乘法
C．为，为实数的加法
D．已知全集，集合，为，为实数的乘法
3．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
4．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（ⅰ）；（ⅱ）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①，B为正整数集；
②，；
③，．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
5．（2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.课程标准
学习目标
①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算.
②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集
1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算.
2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题.