高中4.2 指数函数优秀学案

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知识点01：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
【即学即练1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；
对于B，且，故符合.
故选：BC
知识点02：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点03：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点04：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
题型01指数函数的判定与求值
【典例1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【典例2】（2023·高一课时练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）设函数，则＝ ．
【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
题型02根据函数是指数函数求参数
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如果函数和都是指数函数，则（ ）
A．B．1C．9D．8
【典例2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则的值为 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则有 .
【变式2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 ．
题型03指数型函数图象过定点问题
【典例1】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图像过定点，则（ ）．
A．B．
C．为R上的增函数D．的解集为
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数且恒过定点， ．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数恒过的定点坐标为 ．
【变式2】（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）函数且的图象恒过定点，则点坐标为 ．
题型04指数函数图象的识别
【典例1】（2023春·湖南常德·高一统考期末）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数（）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A．B．C．
D．
题型05画指数函数的图象
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【典例2】（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知函数.
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式1】（2022秋·江西赣州·高一统考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.

(1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；
(2)解不等式.
【变式2】（2022秋·北京顺义·高一校考期中）已知函数.
(1)求的值；
(2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；
(3)若，求x的取值范围.
题型06利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·北京密云·高二统考期末）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型07利用指数函数的单调性解不等式
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）不等式的解集为 .
题型08指数型复合函数的单调性
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）函数的严格减区间为 ．
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间为 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ．
题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【典例1】（2023秋·广东深圳·高一红岭中学校考期末）函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数的最大值为 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·高一课时练习）求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
题型10可化为一元二次函数型
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，则其值域为 ．
【典例3】（2023秋·高一单元测试）已知函数，则函数的值域为 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若关于的方程有解，求的取值范围.
题型11与指数函数的相关的综合问题
【典例1】（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
【典例2】（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并证明；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
【变式1】（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数为上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并加以证明；
(3)解关于的不等式.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023·全国·高一假期作业）给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川绵阳·高二期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）函数（，且）的图象可能是（ ）.
A．B．
C． D．
5．（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知函数是奇函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
6．（2023秋·福建·高二统考学业考试）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·高一课时练习）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
二、多选题
9．（2023秋·广东河源·高一校考期末）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设函数（，且），若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②在R上为增函数．
12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）函数的单调递增区间是 ．
四、解答题
13．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）已知函数的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
14．（2023·全国·高一假期作业）函数是偶函数．
(1)试确定的值及此时的函数解析式；
(2)证明函数在区间上是减函数；
(3)当时，求函数的值域．
B能力提升
1．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）已知的值域为，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）如图所示，函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·浙江金华·高一统考期末）设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高一假期作业）若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为 .
C综合素养
5．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知定义域为函数（且）是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若，判断函数的单调性，若，求实数m的取值范围．
6．（2023春·河南周口·高一统考期末）已知函数
(1)时，求的值域；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.
课程标准
学习目标
①了解指数函数，掌握指数函数的形式
及条件，会根据底数区分两类函数。
②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。
③能解决与指数函数有关的综合性问题。
通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题.
底数
图象
性
质
定义域
值域
定点
图象过定点
单调性
增函数
减函数
函数值的变化情况
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
对称性
函数与的图象关于轴对称