重庆市渝中区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题及答案

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（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设均为非空集合，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 ，命题q：复数为纯虚数，则命题 是 的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A 84B. 540C. 780D. 920
6. 函数的最大值为（ ）
A. 2B. C. 0D.
7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A 60种B. 150种C. 180种D. 300种
8. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A. 样本众数为70
B. 样本的分位数为78.5
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C. 若对任意实数都成立，则
D. 方程有3个不同的实数根
11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．
14. 曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
15. 定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则______．
16. 若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．男生
女生
合计
喜欢
120
100
220
不喜欢
80
100
180
合计
200
200
400
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
编号
1
2
3
4
5
6
企业总数量（单位：百个）
50
78
124
121
137
352