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所属成套资源：2024宁波高三上学期一模（期中）及答案(九科)
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2024宁波高三上学期一模（期中）数学试题含答案
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这是一份2024宁波高三上学期一模（期中）数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了设集合，集合，则，已知数列为等比数列，且，则，已知函数的零点分别为，则，已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高三数学试卷
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1､已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.若是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，且，则（ ）
A.的最小值为50 B.的最大值为50
C.的最小值为10 D.的最大值为10
5.已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A. B.0 C. D.
7.已知二面角的大小为，球与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1，，则球半径的最大可能值为（ ）
A. B. C.3 D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A. B.
C.的面积为 D.
11.函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B.函数在上单调递减
C.若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D.若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
12.已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.是周期函数
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则___________.
14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.
15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是___________.
16.已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形ABCD，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线BD长度的最大值是___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）证明：A=2B
（2）若，求的面积.
18.（12分）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19.（12分）如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足
（1）求证：B､E､G､F四点共面；
（2）求平面EFG与平面夹角的余弦值.
20.（12分）已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
21.（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
22.（12分）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
（1）求C的方程；
（2）求的取值范围.
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.B 3B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分､共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.4
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）因为，由正弦定理得，
即，即，故，
因为，所以，所以，因此
（2）因为，故，
由得，因为，故，
所以.
18.（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
当为奇数时，；
综上所述：
19.（1）法1：如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
所以四点共面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
由，即，解得，取，
同理可得平面的法向量，设平面与平面夹角为，
则.
（1）法2：如图，取中点，分别连接，因为为中点，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
由知，由知，
所以，所以，
所以，所以四点共面.
20.（1），
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，
只需证，即证，
设，则，
则在上递减，在上递增，，
又，故，证毕
21.（1）.
故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.
（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，
所以的分布列为
所以.
（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结.令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，
所以，显然，故.
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
所以.
22.（1）由的焦距为6，知，即；
又渐近线方程为，则，
故，即，从而，
因此，双曲线的方程为.
（2）设.直线的方程为，则.
将直线的方程代入得有两正根，则
且，
又，解上述不等式组，得.
因为的方程为，则与的交点横坐标为
将的方程代入得即为点的横坐标，
故，
所以，，性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
1
2
3
高三数学试卷
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1､已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.若是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，且，则（ ）
A.的最小值为50 B.的最大值为50
C.的最小值为10 D.的最大值为10
5.已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A. B.0 C. D.
7.已知二面角的大小为，球与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1，，则球半径的最大可能值为（ ）
A. B. C.3 D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A. B.
C.的面积为 D.
11.函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B.函数在上单调递减
C.若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D.若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
12.已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.是周期函数
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则___________.
14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.
15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是___________.
16.已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形ABCD，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线BD长度的最大值是___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）证明：A=2B
（2）若，求的面积.
18.（12分）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19.（12分）如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足
（1）求证：B､E､G､F四点共面；
（2）求平面EFG与平面夹角的余弦值.
20.（12分）已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
21.（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
22.（12分）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
（1）求C的方程；
（2）求的取值范围.
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.B 3B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分､共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.4
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）因为，由正弦定理得，
即，即，故，
因为，所以，所以，因此
（2）因为，故，
由得，因为，故，
所以.
18.（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
当为奇数时，；
综上所述：
19.（1）法1：如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
所以四点共面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
由，即，解得，取，
同理可得平面的法向量，设平面与平面夹角为，
则.
（1）法2：如图，取中点，分别连接，因为为中点，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
由知，由知，
所以，所以，
所以，所以四点共面.
20.（1），
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，
只需证，即证，
设，则，
则在上递减，在上递增，，
又，故，证毕
21.（1）.
故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.
（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，
所以的分布列为
所以.
（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结.令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，
所以，显然，故.
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
所以.
22.（1）由的焦距为6，知，即；
又渐近线方程为，则，
故，即，从而，
因此，双曲线的方程为.
（2）设.直线的方程为，则.
将直线的方程代入得有两正根，则
且，
又，解上述不等式组，得.
因为的方程为，则与的交点横坐标为
将的方程代入得即为点的横坐标，
故，
所以，，性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
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0.100
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k
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