广东省深圳市宝安区上南学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区上南学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了方程x2﹣3x＝0的解为，下列说法错误的是，在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2﹣3x＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝x2＝3D．无解
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若线段AB＝2cm，则AC的长为（ ）
A．（﹣1）cmB．（6﹣2）cmC．（+1）cmD．（3﹣）cm
3．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
D．必然事件发生的概率是1
4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝2：1，下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．AD•AB＝AE•AC
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4B．4C．4D．28
7．某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
B．2500x2＝8000
C．2500（1+x）2＝8000
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
9．在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．2B．C．D．2
10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝BC，CE＝AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE＝60°；②DE⊥AC；③CE2＝DF•DA；④AF•BE＝AE•AC，正确的结论有（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式3m2﹣3m的值是 ．
12．为估计可可西里某区域内藏羚羊的数量，先捕捉20只给它们作上标记，然后放回；待有标志的藏羚羊完全混合于藏羚羊群后，第二次捕捉40只，发现其中2只有标记，从而估计该区域有藏羚羊约有 只．
13．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝24m，那么该大厦的高度约为 m．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝ ．
15．如图：正方形ABCD中，BC＝，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝ ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x＝8；（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）．
17．（6分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC位似，且△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1和B1的坐标．
18．（8分）在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别．
（1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为________；
（2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率．
19．（8分）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝，BC＝3，求菱形AECF的边长．
20．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．
（1）涨价后，每本书的利润为 元，每天的销售量为 本；（用含有x的代数式表示）．
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
21．（8分）阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图1，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果＝3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△HEF．请回答：
（1）AB和EH之间的数量关系是 ，CG和EH之间的数量关系是 ，的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果＝2，，求的值．
22．（9分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．
上南学校九年级期中参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣3x＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝x2＝3D．无解
【解答】解：方程x2﹣3x＝0，
因式分解得：x（x﹣3）＝0，
可化为x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故选：B．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若线段AB＝2cm，则AC的长为（ ）
A．（﹣1）cmB．（6﹣2）cmC．（+1）cmD．（3﹣）cm
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
而AB＝2cm，
∴AC＝×2＝（﹣1）cm．
故选：A．
3．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
D．必然事件发生的概率是1
【解答】解：A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，不符合题意；
B．概率很小的事件发生的可能性小，但不表示不可能发生，此说法错误，符合题意；
C．投一枚图钉，由于图形的构造不均匀，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算，此说法正确，不符合题意；
D．必然事件发生的概率是1，此说法正确，不符合题意；
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝2：1，下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．AD•AB＝AE•AC
【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝2：1，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，＝，
∴＝（）2＝，
∴A、B、C正确，
故选：D．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4B．4C．4D．28
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
7．某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
B．2500x2＝8000
C．2500（1+x）2＝8000
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2011的教育经费为：2500×（1+x）
2012的教育经费为：2500×（1+x）2．
那么可得方程：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000．
故选：A．
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×k×（﹣1）≥0，
解上式得，k≥﹣1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
9．在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．2B．C．D．2
【解答】解：如图所示，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAP＝∠BAP，AD＝AB，
又∵AP＝AP，
∴△ADP≌△ABP（SAS），
∴PD＝PB，
∴BP+EP＝DP+EP，
当D，P，E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，
∵正方形ABCD的周长为8，点E是AB边的中点，
∴AD＝2，AE＝1，
∴Rt△ADE中，DE＝＝＝，
∴PE+PB的最小值为，
故选：C．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝BC，CE＝AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE＝60°；②DE⊥AC；③CE2＝DF•DA；④AF•BE＝AE•AC，正确的结论有（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°
∵BD＝BC，CE＝AC
∴BD＝EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD＝60°
∴∠ABE+∠CBE＝60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE＝60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM＝CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM＝CM＝EC
∵EC＝CD
∴EM＝CM＝DM
∴∠CED＝90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD＝DF：DB
∴BD2＝DF•DA
∴CE2＝DF•DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE＝∠AFE＝60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE＝AE•AC
∴④是正确的．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式3m2﹣3m的值是 3 ．
【解答】解：∵x＝m是x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m＝1，
∴3m2﹣3m＝3，
故答案为：3
12．为估计可可西里某区域内藏羚羊的数量，先捕捉20只给它们作上标记，然后放回；待有标志的藏羚羊完全混合于藏羚羊群后，第二次捕捉40只，发现其中2只有标记，从而估计该区域有藏羚羊约有 400 只．
【解答】解：根据题意得：
20÷
＝400（只），
答：该区域有藏羚羊约有400只；
故答案为400．
13．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝24m，那么该大厦的高度约为 m．
【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即＝
故CD＝×AB＝×1.2＝16m；
那么该古城墙的高度是16m．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，
在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4，
∴BC＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴OE•BC＝OB•OC，
∴OE＝＝．
故答案为．
15．如图：正方形ABCD中，BC＝，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝，∠ACB＝45°，AC＝2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∵PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC＝135°，
∴∠APC＝∠BPC，
∴△APC∽△CPB，
∴＝，
∴PA＝PC，PB＝PC，
∵AB2＝PA2+PB2，
∴2＝PC2，
∴PC＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）x2﹣2x＝8；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）＝0，
即x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），
∴（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，
则（5x﹣1）（5x﹣4）＝0，
∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，
解得x1＝，x2＝．
17．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC位似，且△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1和B1的坐标．
【解答】解：如图，△A1B1C即为所求．
由图知A1（﹣2，﹣2），B1（ 4，0）．
18．在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别．
（1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为________；
（2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率．
【解答】解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四张卡片，卡片的数字大于等于3的为3与4，
∴从中任取一卡片，卡片的数字不小于3的概率为：＝；
（2）列表如下：
∵由上表可知，所有等可能结果共有12种，两张卡片上的数字之积为奇数的结果共4种，
∴P（数字之积为奇数）＝＝．
19．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝，BC＝3，求菱形AECF的边长．
【解答】（1）证明：∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即（）2+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
即AE＝2，
∴菱形AECF的边长是2．
20．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．
（1）涨价后，每本书的利润为 元，每天的销售量为 本；（用含有x的代数式表示）．
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每本书的利润为（40+x﹣30）＝（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本．
故答案为：（10+x）元，（300﹣10x）本．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），则每本书的利润为（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本，
依题意得：（10+x）（300﹣10x）＝3750，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
21．阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图1，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果＝3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△HEF．请回答：
（1）AB和EH之间的数量关系是 AB＝3EH ，CG和EH之间的数量关系是 CG＝2EH ，的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果＝2，，求的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵EH∥AB，
∴＝＝3，
∴AB＝3EH，
设EH＝x，则AB＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3x，AB∥CD，
∴HE∥CD，
∵点E是边BC的中点，
∴CG＝2EH＝2x，
∴＝＝，
故答案为：AB＝3EH，CG＝2EH，；
（2）如图2，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴，
∴CD＝EH，
∵＝2，
∴AB＝2CD＝EH，
∴＝，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴＝＝．
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ ＝ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为 1 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
故答案为：＝；
②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1．
故答案为：1．
（2）解：结论：＝k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k．
（3）解：如图2中，作PN⊥BC交BC的延长线于N．
由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．卡片1
卡片2
果
结
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16