山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三角形的中点B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点D．三边中线的交点
3．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列选项中分别说明了三条线段a，b，c的长度，其中以a，b，c为边不能构成三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝7，c＝7D．a＝3，b＝3，c＝5
5．（4分）下列语句：
①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；
②两个等边三角形一定是全等图形；
③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；
④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．
其中错误的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（4分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要得到△ABC≌△ADE，则不能添加的条件是​（ ）
A．BC＝DEB．∠BAC＝∠DAEC．∠BAD＝∠CAED．∠B＝∠D
7．（4分）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长．其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（4分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边
C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
9．（4分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
10．（4分）在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（ ）
A．4B．3C．2D．无法确定
11．（4分）在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．24B．24πC．D．
12．（4分）△ABC的三边长分别用a，b，c表示，有5个分别适合下列条件的△ABC：①a＝，b＝，c＝；②a：b：c＝5：12：13；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3；④a＝9，b＝40，c＝41；⑤a＝b＝3，c＝4．其中是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每题4分，6小题共24分）
13．（4分）如图，△ABC≌△AED，若∠1＝32°，则∠2＝ °．
14．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则一个底角为 ．
15．（4分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
16．（4分）如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.59米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．
17．（4分）如图，一竖直的大树在离地面若干米处折断，树的顶端落在地面离大树底端12米处，大树折断之前的高度为18米，则折断处离地面的距离为 ．
18．（4分）如图，圆柱的底面半径为，高BC＝10cm点P是BC上一点，且PC＝4BP，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
20．（12分）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数．
21．（12分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
22．（8分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？如图所示，求绳索AC的长．
23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD和CE相交于点F，若已知AE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF＝2CD．
24．（12分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
（1）请判断△ABC的形状？
（2）求修建的公路CD的长．
25．（14分）【模型建立】（1）如图1，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，求证：△AEC≌△ADB；
【模型应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点．​
①求∠BEC的度数；
②CE＝3，求△AEF的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，12小题共48分）
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三角形的中点B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点D．三边中线的交点
【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
3．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
4．（4分）下列选项中分别说明了三条线段a，b，c的长度，其中以a，b，c为边不能构成三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝7，c＝7D．a＝3，b＝3，c＝5
【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、因为1+2＝3，所以以a，b，c为边不能构成三角形，符合题意；
B、因为3+2＞4，所以以a，b，c为边能构成三角形，不符合题意；
C、因为7+2＞7，所以以a，b，c为边能构成三角形，不符合题意；
D、因为3+3＞5，所以以a，b，c为边能构成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边是解题的关键．
5．（4分）下列语句：
①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；
②两个等边三角形一定是全等图形；
③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；
④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．
其中错误的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合题目判断即可．
【解答】解：①顶角、底角都相等的两个等腰三角形不一定全等，因为对边长没有要求，故本项错误；
②两个等边三角形不一定是全等图形，因为对边长没有要求，故本项错误；
③说法正确，故本选项正确；
④三个角一一对应相等的两个三角形不一定全等，因为对边长没有要求，故本项错误；
综上可得错误的有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形的知识，关键是掌握全等图形的定义．
6．（4分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要得到△ABC≌△ADE，则不能添加的条件是​（ ）
A．BC＝DEB．∠BAC＝∠DAEC．∠BAD＝∠CAED．∠B＝∠D
【分析】已知两边，若要证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定定理，可以添加第三边相等或已知两边的夹角相等，由此可求解．
【解答】解：A、添加BC＝DE，可用SSS判定△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAE，可用SAS判定△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，可用SAS判定△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加∠B＝∠D后满足SSA，不能得到△ABC≌△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（4分）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长．其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】已知条件是∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，AC＝AC，据此作出选择．
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
．
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（4分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边
C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
9．（4分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD＝PC，
∵PC＝5cm，
∴PD＝5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
10．（4分）在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（ ）
A．4B．3C．2D．无法确定
【分析】由于AB＝AC，根据等边对等角可以得到：∠B＝∠C＝30°，又因为AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝CE，再根据等边对等角得到∠C＝∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠B的度数，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C．
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAE＝180°，即3∠B+90°＝180°，
∴∠B＝30°
∴∠C＝30°，
∵DE＝1，
∴EC＝2＝AE，
∴BE＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（4分）在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．24B．24πC．D．
【分析】先求出直角三角形的斜边，再利用：阴影部分面积＝两个小半圆面积+直角三角形面积﹣以斜边为直径的大半圆面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
AB＝＝＝10，
S阴影＝π（）2+π（）2+×6×8﹣π（）2
＝+8π+24﹣
＝24．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，解答本题的关键是利用勾股定理得出AB的长及找出阴影部分面积的表示，另外本题也进一步验证了勾股定理．
12．（4分）△ABC的三边长分别用a，b，c表示，有5个分别适合下列条件的△ABC：①a＝，b＝，c＝；②a：b：c＝5：12：13；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3；④a＝9，b＝40，c＝41；⑤a＝b＝3，c＝4．其中是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】先根据勾股定理的逆定理对①②④⑤中△ABC的形状进行判断；再根据三角形的内角和是180°对③中△ABC的形状作出判断即可．
【解答】解：①∵（）2+（）2≠（）2，
∴c2+b2≠a2，
∴△ABC不是直角三角形；
②∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
④∵92+402＝412，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
⑤∵32+32≠42，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
其中是直角三角形的是②③④，有3个，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
二、填空题（每题4分，6小题共24分）
13．（4分）如图，△ABC≌△AED，若∠1＝32°，则∠2＝ 32 °．
【分析】由全等三角形的性质可知∠BAC＝∠EAD，然后可得∠2＝∠1，进而问题可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠EAD﹣∠DAC，
即：∠2＝∠1，
∵∠1＝32°，
∴∠2＝32°．
故答案为：32．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则一个底角为 67.5°或22.5° ．
【分析】先知三角形有两种情况（1）（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【解答】解：有两种情况；
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G，
＝×（180°﹣135°），
＝22.5°，
∴等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．
故答案为：67.5°或22.5°．
【点评】本题考查了三角形有关高问题有两种情况的理解和掌握，能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角．
15．（4分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得△BCE和△BEF的面积之比，即可解答出．
【解答】解：∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE＝2：1，
同理可得，S△BCE：S△BEF＝2：1，
∵S△ABC＝4cm2，
∴S△BEF＝S△ABC＝×4＝1（cm2），
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．（4分）如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.59米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 26.36 秒．
【分析】此题利用查直角三角形的性质求得自动扶梯的长，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间可求．
【解答】解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h＝2×6.59＝13.18（米），
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13.18÷0.5＝26.36（秒）．
故答案为：26.36秒．
【点评】解决此类题目的关键是要熟记30°锐角所对直角边等于斜边的一半．注意数学在实际生活中的运用．
17．（4分）如图，一竖直的大树在离地面若干米处折断，树的顶端落在地面离大树底端12米处，大树折断之前的高度为18米，则折断处离地面的距离为 5米 ．
【分析】根据题意，直接由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，由题意可知，BC＝12米，AB+AC＝18米，
由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
∴（AC﹣AB）（AC+AB）＝144米，
∴AC﹣AB＝8米，
又AC+AB＝18米，
∴AB＝5米，
故答案为：5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
18．（4分）如图，圆柱的底面半径为，高BC＝10cm点P是BC上一点，且PC＝4BP，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 cm ．
【分析】先把图形展开，连接AP，求出CP、AC长，根据勾股定理求出AP即可．
【解答】解：如图展开，连接AP，则线段AP的长是从A点出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离，
∵BC＝10cm，PC＝4BP，
∴PC＝8cm，
∵圆柱的底面半径为，
∴圆柱的底面周长为15cm，
∴AC＝cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP＝＝（cm），
故答案为：cm．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再将其代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD中，即可求出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣32°﹣60°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×88°＝44°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝44°﹣30°＝14°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠CAE及∠CAD的度数．
20．（12分）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数．
【分析】（1）根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AB＝ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠CBA＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠CBA＝90°﹣60°＝30°，
∵△ABC≌△EDF，
∴∠E＝∠A＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，证明△ABC≌△EDF是解题的关键．
21．（12分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（8分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？如图所示，求绳索AC的长．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索AC长为x尺，根据题意得：
x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得：x＝，
答：绳索AC长为尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD和CE相交于点F，若已知AE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF＝2CD．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△CEB；
（2）由等腰三角形的性质可得BD＝CD＝BC，由全等三角形的性质可得BC＝AF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∴∠B+∠DAB＝90°＝∠B+∠BCE，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
∵△AEF≌△CEB，
∴BC＝AF，
∴AF＝2CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEF≌△CEB是解题的关键．
24．（12分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
（1）请判断△ABC的形状？
（2）求修建的公路CD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC2+BC2＝AB2得到△ABC是直角三角形．
（2）利用△ABC的面积公式可得，CD•AB＝AC•BC，从而求出CD的长．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝12（km）．
答：修建的公路CD的长是12km．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
25．（14分）【模型建立】（1）如图1，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，求证：△AEC≌△ADB；
【模型应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点．​
①求∠BEC的度数；
②CE＝3，求△AEF的面积．
【分析】（1）由SAS证△AEC≌△ADB即可；
（2）①同（1）得△AEC≌△ADB（SAS），得∠AEC＝∠ADB＝135°，即可得出结论；
②由“ASA”可证△AGF≌△CEF，可得AG＝CE＝2，GF＝EF，再由等腰直角三角形的性质得DG＝EG＝AG＝2，则GF＝EF＝1，然后由三角形面积关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：①∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
同（1）得：△AEC≌△ADB（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；
②如图2，过点A作AG⊥DE于点G，
则∠FGA＝90°，
由①可知，∠FEC＝90°，
∴∠FGA＝∠FEC，
∵点F为AC中点，
∴AF＝CF，
又∵∠AFG＝∠CFE，
∴△AGF≌△CEF（AAS），
∴AG＝CE＝3，GF＝EF，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DG＝EG＝AG＝3，
∴GF＝EF＝EG＝，
∴S△AEF＝AG•EF＝×3×＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．