初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课堂教学ppt课件

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1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积2.能用一元二次方程的根与系数的关系解决问题
（1）x2＋3x－4＝0；　　（2）x2－5x＋6＝0；　　（3）2x2＋3x＋1＝0．
方程的两根x1和x2与系数a，b，c有什么关系？
解下列方程并完成填空：
（1）一元二次方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根是什么？若将此方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2满足上面两个关系式
(x－x1)(x－x2)＝0
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
满足上述关系的前提条件
人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”．
例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积．（1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2．
注意公式自身的符号及系数的符号．
解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，
（3）化一般式，得4x2－5x＋1＝0，
用根与系数的关系前，一定要化成一般式．
例2 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积．（1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2．
与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个代数式的变形
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入．
解析：∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b，
∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴a＋b＝6，ab＝4，
解：设方程的两根分别为x1，x2，
求解此类问题时，必须将求出的字母的值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ＞0，否则可能会多解．
当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝121－4×2×23＝－63＜0，
方程无实数根，不合题意，应舍去；
当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0，
方程有两个不相等的实数根．综上所述，m的值为3．
一元二次方程的根与系数的关系
1．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值等于(　　)A．－3 B．－1 C．1 D．32．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是____．
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积；
4．已知关于x的方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根之和等于两根之积，求m的值．
解：设方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根为x1，x2．∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2．根据题意得m2＝2m＋3，解得m1＝3，m2＝－1．当m＝3时，原方程为x2－9x＋9＝0，b2－4ac＝45＞0，方程有实数根．当m＝－1时，原方程为x2－x＋1＝0，b2－4ac＝－3＜0，方程无实数根，此m值舍去．∴m的值为3．