内蒙古科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高二上期期中考试数学试题

这是一份内蒙古科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高二上期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了已知直线与互相垂直，则，已知点，直线的倾斜角为，则，平行六面体中，，，则的长为，两圆和相交于两点，则线段的长为，已知圆，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：张立国 审题人：石婷婷
卷面分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名准考证号码填写清楚。
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，在试卷上答题无效。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知直线与互相垂直，则（ ）
A．B．C．1D．1或
2．已知，，O为原点，则与的夹角是（ ）
A．0B．πC．D．
3．在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（ ）
A．3B．C．D．
4．已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
6．过的直线l与圆相交于A，B两点，且，则直线l的方程为
A．B．或
C．或D．或
7．两圆和相交于两点，则线段的长为
A．4B．C．D．
8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ）．

A．B．
C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内B．圆M关于对称
C．半径为1D．直线与圆M相切
10．已知圆的一般方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为8
C．过原点的最短弦长为8
D．圆被轴截得的弦长为6
11．圆心在直线上，与直线相切，且被直线所截得的弦长为的圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
12．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．图像经过第一、二、三象限
C．过与直线平行的直线方程是
D．若直线，则

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知圆C：x2+y2-6x-8y-m=0，其中m∈R，如果圆C与圆x2+y2=1相外切，则m的值为 .
14．点A(－1，2，－3)，B(0，2，－2) 的中点坐标为 .
15．已知四点，，，，则点P 面ABC（填写“”或者“”中的一个）.
16．直线与曲线有公共点，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．求符合下列条件的直线l的方程：
(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；
(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；
(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.
18．如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，.
(1)求的长；
(2)求二面角的余弦值.
19．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.
20．已知，；
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，求实数的值.
21．已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)求点到面的距离.
2023-2024学年度上学期高二年组期中考试
数学试卷答题卡
一、选择题
二、填空题
13. ___________； 14. ___________；
15. ___________； 16. ___________；
三、解答题
17．求符合下列条件的直线l的方程：
(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；
(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；
(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.
18．如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，.
(1)求的长；
(2)求二面角的余弦值.
19．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.
20．已知，；
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，求实数的值.
21．已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)求点到面的距离.
参考答案：
1．C
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出关于的方程，求解即可．
【详解】解：因为直线与互相垂直，
所以，解得.
故选：C
2．B
【分析】求出和，利用向量关系即可求出.
【详解】因为，，则，，
则，
所以与的夹角是.
故选：B.
3．C
【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，再根据向量公式计算得到距离.
【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
，点到直线BE的距离为.
故选：C.
4．C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
5．B
【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【详解】如图，

由题知，,
，，
.
，
，
即的长为.
故选：B
6．B
【分析】根据题意，画出图形，讨论斜率是否存在时的情况，进而利用点到直线的距离公式求得直线方程．
【详解】作OM⊥AB于M，由题意可知AM= ,OA=2，圆心坐标为（1，-1）
所以OM= ,即圆心到直线的距离为1，如下图所示
当直线斜率不存在时，直线方程为x=2，此时圆心到直线距离为1，复合要求
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即
由点到直线距离公式可知
解方程得 ，所以直线方程为，即
综上所述，直线方程为或
所以选B
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键要记住讨论斜率不存在的情况，属于基础题．
7．C
【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得
公共弦的长．
【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②
①﹣②可得：x﹣2y+4=0．
∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0，
∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，
∴圆心到公共弦的距离为d=，
∴公共弦长=.
故答案为：C
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
8．A
【分析】先用表示，然后由可得结果.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
故选：A.
9．CD
【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.
【详解】解：圆的标准方程为：，
圆心为，半径为1，
A.因为，所以点在圆M外，故错误；
B.因为，即圆心不在直线上，故错误；
C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确；
D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M的半径相等，故直线与圆M相切，故正确；
故选：CD
10．ABD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为5，
所以A正确，
对于B，圆被轴截得的弦长为，所以B正确，
对于C，由于原点在圆上，所以过原点的弦无最小值，所以C错误，
对于D，圆被轴截得的弦长为，所以D正确，
故选：ABD
11．CD
【分析】根据圆心在直线上设出圆心的坐标，再根据圆与相切得到半径，进而根据弦长为求出答案.
【详解】因为圆心在直线上，所以设圆心为，而圆与相切，则圆的半径，于是圆的方程为.
圆心到直线距离，则，
故圆的方程为：或
故选：CD.
12．BC
【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角，判断A，结合直线的纵截距可判断B，确定直线是否平行且是否过已知点判断C，由垂直的条件判断D．
【详解】由直线方程知直线斜率为，因此倾斜角为，又纵截距是1，因此直线过一、二、三象限，A错B正确；
直线与直线平行，且，即过点，C正确；
，与不垂直，D错．
故选：BC．
13．-9
【分析】根据圆与圆之间的位置关系可推出两圆心之间的距离等于两圆半径之和.
【详解】由圆C：x2+y2-6x-8y-m=0，可得（x-3）2+（y-4）2=25+m，则圆心C（3，4），半径，由圆x2+y2=1，可得圆心（0，0），半径R=1，因为两圆外切，则，解得m=-9
故答案为：-9
14．
【分析】直接利用中点坐标公式求解即可
【详解】因为，，
所以中点坐标为，即
故答案为：
15．
【分析】设，判断是否有解即可得结果．
【详解】设，
则，得所以无解
所以点面ABC
故答案为：
16．．
【详解】试题分析：∵，∴，两边平方得，即
，又∵，∴曲线表示以为圆心为半径的半圆，如图所示，易知，当直线经过点时，得，当直线与圆相切时，有
或（舍去），∴实数的取值范围是.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.数形结合的数学思想.
17．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；
(2)根据直线两点式或点斜式方程即可求解；
(3)分类讨论直线过原点与不过原点，根据点斜式或截距式方程即可计算﹒
【详解】（1）所求直线过点，且斜率为，，即.
（2）所求直线过，
，
，即.
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
直线过点，
，直线方程为，即2x－3y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式得，，解得，
故直线的方程为，
综上，直线方程为或.
18．(1)1；
(2).
【分析】（1）连接BD，证明EC⊥平面PDB得EC⊥BD，根据边长和角度关系可得CD＝BE；
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.
【详解】（1）连接BD交EC于F：
∵顶点在底面的投影为，∴PD⊥平面ABCD，∵EC平面ABCD，∴PD⊥EC，
又∵EC⊥PB，PD∩PB＝P，∴EC⊥平面PDB，∵BD平面PDB，∴EC⊥BD.
∵∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，E是AB中点，
∴EC＝EB＝EA＝BC＝1，∴三角形BEC是等边三角形，∴F是EC中点，
又∵BE∥CD，∴易知△CDF≌△EBF，∴CD＝BE＝1；
（2）连接AD，则由（1）易知四边形ABCD是等腰梯形，∠ACB＝∠ADB＝90°，
故可以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，，
设平面PCD的法向量为，
则，取，则，
设平面EPC的法向量为，
则，取，则，
设二面角D－PC－E的平面角为，
则.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 记为棱靠近点的三等分点，连接，证明，根据线面平行判定定理证明平面；
(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得与平面所成的角的正弦值.
【详解】（1）记为棱靠近点的三等分点，连接
又为棱靠近点的三等分点.
所以，且，
又且，
所以且，即四边形ADEF为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）在BC上取一点G，使得，所以，
又，知四边形AGCD为矩形，从而，
又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
从而，，，
设平面的法向量为，则
，即，
取，可得，
为平面PBC的一个法向量，则
，
设与平面所成的角为，则
，
即与平面所成的角的正弦值为.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）根据向量模长的关系可得或，进而可得结果；
（2）分别求出的坐标，根据数量积为0可解出.
【详解】（1）因为，所以或，所以或
（2）因为
由得，
即，解得.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；
（2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
（2）由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
22．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，
（2）根据点面距离公式，即可由法向量求解.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以.
因为底面是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系.

因为，底面为边长为2的正方形，所以，.,
设平面法向量，由可得,
令，则，所以,
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）设点到平面的距离为
，由（2）可得 为平面的一个法向量，
所以，所以点到面的距离为.