广东省佛山市顺德区罗定邦中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份广东省佛山市顺德区罗定邦中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
命题人：汤旭红 时长：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数的值为（ ）
A.-2 B. C. D.2
3.若直线与直线互相平行，则的值是（ ）
A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-2
4.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，用三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作（各个元件相互独立）的概率依次是，则系统正常工作（ ）
D.0.9
7.在二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则这个二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.和夹角的余弦值是.
D.平面的一个法向量是
10.下列命题中，正确的是（ ）
A.两条不重合直线的方向向量分别是，则
B.直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.两个不同的平面的法向量分别是，则
D.平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为.
11.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A.事件与互斥 B.
C.事件与相互独立 D.
12.如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上（包含边界）的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A. B.存在点，使得
C.的最小值为 D.的最大值为6
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，求两个点数之和为8的概率为__________.
14.直线与直线之间的距离为__________.
15.已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________.
16.在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）直线与直线相交于点，直线经过点.
（1）若直线，求直线的方程；
（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）.
（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率.
19.（12分）如图，在长方体中，分踶的中点.求证：
（1）四边形为平行四边形；
（2）平面.
20.（12分）两人组成“龙之队”参加知识竞赛活动，每轮活动由两人各答一题，已知每轮答对的概率为每轮答对的概率为.在每轮活动中，和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.若“龙之队”在第一轮活动中答对1个谜语的概率为.
（1）求的值；
（2）求“龙之队”在两轮活动中答错1个题目的概率，
21.（12分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
22.（12分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
罗定邦中学2023学年度第一学期期中教学质量监测高二年级
数学科试题评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
12.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则；
所以，
所以，即；
因为平面，所以平面；
又平面，所以.故正确；
设，所以，
所以，即，
所以，
解得，又，故错误；
所以，故C正确；
所以，
因为，所以时，取到最小值，
时，取到最大值6，所以.故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）（其他办法也酌情按步骤给分）
【详解】（1）联立
得即
因为，不妨设直线的方程为，
将点代入，得，
所以直线的方程为.
（2）当直线经过坐标原点时，直线的方程是，
即
当直线不经过坐标原点时，设直线的方程为，
将点代入，得，
所以直线的方程为，即.
综上.所述，直线的方程是或.
18.（12分）解（1）由频率分布直方图，
平均分为；
（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为a，b，
从这6人中任取2人的基本事件有：共15个
其中这组中至少有1人被抽到的基本主件有其9个
所以所求概率为.
19.（12分）（其他办法也酌情按步骤给分）
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，所以，
（1）显然有
又四点不共线，所以四边形为平行四边形.
（2）所以，
所以，
因为平面.所以平面.
20.（12分）（其他办法也酌情按步骤给分）
【解答】解：（1）“龙之队”在第一轮活动中答对1个题目是甲答对1个题目和乙答对1个题目事件的
它们互斥，于是得.
能得，所以；
（2）由（1）知，“龙之队”在每一轮活动中答对1个题目的事件概率为，答对2个题目的概率为
“龙之队”在两轮活动中答错1个题目等价于答对3个题目的事件是：“第一轮答对2个，第二轮答对1个”的事件与“第一轮答对1个，第二轮答对2个”的事件的和，且它们互斥
易知，
所以两轮中答对3个题目也就是答错1个题目的概率为.
21.（12分）（其他办法也酌情按步骤给分）
解答：（1）因为四边形PDCE为矩形，则N为PC.的中点，连接FN，如图，
在中，分别为的中点，则有
而直线平面平面，所以平面.
（2）因平面平面，则，而，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
直角梯形中，，
则
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
假定存在点满足条件，设，
整理得，则
因为直线与平面所成的大小为，
所以
解得合），即点与重合，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，且.
22.（12分）（其他办法也酌情按步骤给分）
【解答】（1）为等边三角形，
，又四边形为梯形，，
则，
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直.以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴
正方向建立空间直角坐标系，
则，
设且，则，
由三棱锥的体积为得：
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故.
所以平面与平面的夹角余弦值为
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
B
A
C
C
A
9
10
11
12
BD
AC
BD
ACD