专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷 版）

这是一份专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷 版），共18页。试卷主要包含了热点题型归纳等内容，欢迎下载使用。
目录
一、热点题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc290" 【题型一】三角函数求解析式：“识图” PAGEREF _Tc290 1
\l "_Tc16492" 【题型二】图像与性质1：单调性与值域 PAGEREF _Tc16492 3
\l "_Tc21020" 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 PAGEREF _Tc21020 4
\l "_Tc22868" 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 PAGEREF _Tc22868 5
\l "_Tc19978" 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴 PAGEREF _Tc19978 7
\l "_Tc21310" 【题型六】解三角形1：面积与周长常规 PAGEREF _Tc21310 9
\l "_Tc21071" 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 PAGEREF _Tc21071 10
\l "_Tc16133" 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） PAGEREF _Tc16133 11
\l "_Tc14675" 【题型九】解三角形4：周长最值 PAGEREF _Tc14675 11
\l "_Tc20098" 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 PAGEREF _Tc20098 12
\l "_Tc29278" 【题型十一】解三角形6：最值范围综合 PAGEREF _Tc29278 13
\l "_Tc19842" 二、真题再现 PAGEREF _Tc19842 14
\l "_Tc21785" 三、模拟测试 PAGEREF _Tc21785 16
【题型一】三角函数求解析式：“识图”
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值；
(2)若，求A的值．
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数的部分图象如图所示：
(1)求；
(2)若，且，求的值．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【题型二】图像与性质1：单调性与值域
【典例分析】
（2022·浙江·高三开学考试）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间［0，］上的最值.
【变式演练】
1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若，求出的单调递减区间.
2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知角a是第一象限角，且___________.
(1)求的值；
(2)求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式演练】
1.（2022·北京·二模）已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在上的单调递增区间．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若__________．
条件①：，且在时的最大值为；
条件②：．
请写出你选择的条件，并求函数在区间上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有2个不同实数解，求实数k的取值范围．
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，其中．
(1)求函数的单调增区间；
(2)将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到的图象，若在上恰有2个解，求m的取值范围．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.
（i）若，当时，的值域为，求实数m的取值范围；
（ii）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递减区间；
(3)若函数在上有两个不同的零点，写出实数k的取值范围．（只写结论）
【题型五】图像与性质4：零点与对称轴
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分别为最高点与最低点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实数m的取值范围，并求出的值．
【变式演练】
1.
（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有三个不相等的实数根，求m的取值范围及的值．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【题型六】解三角形1：面积与周长常规
【典例分析】
（2022·安徽·高三开学考试）在中，点分别在线段上，且，．
(1)求的长;(2)求的面积．
【变式演练】
1.（2022·北京·高三开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
【题型七】解三角形2：计算角度与函数值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【变式演练】
1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积.
(3)若，求的值.
2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知的内角所对的对边分别为，周长为，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求角的大小．
3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．
【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）
【典例分析】
（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知的内角所对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【变式演练】
1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．
(1)求B和b的值；
(2)求面积的最大值．
3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
【题型九】解三角形4：周长最值
【典例分析】
（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围.
【变式演练】
1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知中，内角所对边分别为，若.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的最大值.
2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型
【典例分析】
（2022·四川成都·模拟预测（理））△中，角所对边分别是，，．
(1)求角及边；
(2)求的最大值．
【变式演练】
1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值．
2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【题型十一】解三角形6：最值范围综合
【典例分析】
（2022·浙江·高三开学考试）记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；(2)求的取值范围.
【变式演练】
1.
（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）的内角、、所对边的长分别为、、，已知．
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．
2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设的内角的对边分别为，为钝角，且．
(1)探究与的关系并证明你的结论；
(2)求的取值范围．

1．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
3．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
4．（·浙江·高考真题（理））已知的内角所对的对边分别为，周长为，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求角的大小．
5．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
7．（山东·高考真题）已知函数，，，函数的部分图象如下图，求
（1）函数的最小正周期及的值：
（2）函数的单调递增区间．
8．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
9．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
11．（2023·全国·高三专题练习）在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数（其中，，，均为常数，且，，）的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，，求的值域．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)令，把函数的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若为奇函数，求实数的值；
(2)若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；
6、（2022·安徽·高三开学考试）记的内角的对边分别为，且.
(1)求;
(2)若，求.
7.（2022·广西·模拟预测（文））设的内角A、、所对的边分别为、、，且．
(1)证明：；
(2)若，求的值．
8.（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角的对边分别是，若__________．（填条件序号）
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，______________.
(1)求角B；
(2)求的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
10.（2022·山东烟台·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
11.（2023·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．
(1)若是的角平分线，求；
(2)若是边上的中线，且，求．
12.（2022·全国·模拟预测（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．
已知的内角A，，的对边分别为，，，且______
(1)求；
(2)的最大值．
【提分秘籍】
基本规律
1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。
正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系
【提分秘籍】
基本规律
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
【提分秘籍】
基本规律
利用二倍角和降幂公式等进
1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开
2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”
行恒等变形
【提分秘籍】
基本规律
重视三角函数画图在解题中的作用：
1.五点画图法；2.换元画图法
【提分秘籍】
基本规律
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
【提分秘籍】
基本规律
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【提分秘籍】
基本规律
解三角形求最值，主要是两个思路：
利用余弦定理，借助均值不等式来求。
利用正弦定理，边角互化来求。化角时，要注意角的取值范围限制
【提分秘籍】
基本规律
利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【提分秘籍】
基本规
“非对称”型，多用正弦定理来“边化角”，最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。
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