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河南省许昌市魏都区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份河南省许昌市魏都区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
2．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．40°，40°或80°，20°
4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，若BE＝7，CE＝2（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则AE长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．10cm
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
7．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠2的度数等于（ ）
A．50°B．30°C．20D．15°
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，BD⊥DC，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE（ ）
①CE＝BF；②△ABD和△ADC的面积相等；③BF∥CE，BF均与AD垂直
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
二．填空题（共5小题）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
12．（3分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3 ．
13．（3分）已知等腰三角形两边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．（3分）已知点A、B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： ．
15．（3分）过等腰三角形的一个底角顶点向对边作垂线段，若垂线段与一腰的夹角是32°，则这个等腰三角形的顶角是 °．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19．（9分）如图，∠B＝∠C，D在BC上，在AC上取AE＝AD，∠ADE＝∠AED
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，求∠BAE的度数．
21．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝28，BE＝5，求AB的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标.
2023-2024学年河南省许昌市魏都区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
2．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（7．
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，比较简单．
3．（3分）等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．40°，40°或80°，20°
【分析】先根据平角等于180°求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣80°＝100°，
∴100°的内角是顶角，
（180°﹣100°）＝40°，
∴另两个内角是40°，40°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，是基础题，比较简单．
4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，若BE＝7，CE＝2（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：∵BE＝7，CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝6，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝5，
∵CF+CE＝EF，
∴CF＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则AE长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．10cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
C、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了三角形全等的判定．
7．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠2的度数等于（ ）
A．50°B．30°C．20D．15°
【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线性质得出∠2＝∠4，代入求出即可．
【解答】解：
∠4＝∠1+∠8＝30°+20°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，BD⊥DC，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝4即可得出结论．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE（ ）
①CE＝BF；②△ABD和△ADC的面积相等；③BF∥CE，BF均与AD垂直
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠BFD，但不一定是直角，BF均与AD不一定垂直；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
【分析】针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．
【解答】解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B、当∠A＝∠D＝90°时，不能判定△ABC和△DEF全等；
C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL．做题时要认真验证各选项是否符合全等要求．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 4（大于2小于8的数即可） ．（只填一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．
【解答】解：由题意得：5﹣3＜x＜8+3，
即：2＜x＜7，
∴x的值可以是：4（大于2小于5的数即可）．
故答案为：4（大于2小于7的数即可）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（3分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
13．（3分）已知等腰三角形两边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为 25 ．
【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，6，5+5＝10，
当等腰三角形的腰为10时，三边为7，10，周长为5+10+10＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
14．（3分）已知点A、B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： （0，4）或（4，0）或（4，4） ．
【分析】画出图形，根据全等三角形的性质和坐标轴与图形的性质可求点P的坐标．
【解答】解：如图所示，以A、B，
则点P的坐标为（0，4）或（6，4）．
故答案为：（0，2）或（4，4）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．
15．（3分）过等腰三角形的一个底角顶点向对边作垂线段，若垂线段与一腰的夹角是32°，则这个等腰三角形的顶角是 58°或122° °．
【分析】垂线段与一腰的夹角是32°，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论．
【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由已知可知，∠ABD＝32°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝58°，
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由已知可知，∠ABD＝32°，
又∵BD⊥AC，
∴∠DAB＝58°，
∴∠A＝122°，
故答案为：58°或122°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．正确分类是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A
【分析】证出∠C＝∠EDB，证明△EBD≌△BAC（ASA），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDB，
在△EBD和△BAC中，
，
∴△EBD≌△BAC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EBD≌△BAC是解题的关键．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED＝90°＝∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE＝∠DAC，又因为AD＝AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE＝AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE＝AC．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1 （1，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1即可．
（2）根据点C1的位置即可解决问题．
（3）利用分割法计算即可．
（4）连接BC1与y轴的交点即为所求的点P．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；
（2）由图象可知：C1（1，﹣2）；
故答案为（1，﹣1）．
（3）S＝5×5﹣×1×5﹣×2×3＝；
故答案为．
（4）如图，连接BC1与y轴的交点为P，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（9分）如图，∠B＝∠C，D在BC上，在AC上取AE＝AD，∠ADE＝∠AED
【分析】设∠EDC＝x，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADE+x＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+x，然后整理即可得解．
【解答】解：设∠EDC＝x，
由三角形的外角性质得，∠ADE+x＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠C+x+x＝∠B+∠BAD，
∵∠B＝∠C，
∴x＝∠BAD＝，
即∠EDC＝15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记三角形的外角性质列出等式是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，求∠BAE的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即可得出∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，从而求得∠B＝50°，然后根据平行线的性质即可求得∠BAE＝∠B＝50°．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，
∴∠B＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠BAE＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝28，BE＝5，求AB的长．
【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF，
∵AC＝28，CF＝BE＝5，
∴AE＝AF＝23
∴AB＝AE﹣BE＝23﹣5＝18．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标.
【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝4.5﹣1.5＝0.8（cm），
即BE的长为8.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，过A作AE⊥l于点E，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣5，0），3），
∴EG＝OA＝3，CG＝1，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝8，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+4＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣4＝1，
∴B点坐标为（4，2）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
2．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．40°，40°或80°，20°
4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，若BE＝7，CE＝2（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则AE长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．10cm
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
7．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠2的度数等于（ ）
A．50°B．30°C．20D．15°
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，BD⊥DC，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE（ ）
①CE＝BF；②△ABD和△ADC的面积相等；③BF∥CE，BF均与AD垂直
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
二．填空题（共5小题）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
12．（3分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3 ．
13．（3分）已知等腰三角形两边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．（3分）已知点A、B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： ．
15．（3分）过等腰三角形的一个底角顶点向对边作垂线段，若垂线段与一腰的夹角是32°，则这个等腰三角形的顶角是 °．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19．（9分）如图，∠B＝∠C，D在BC上，在AC上取AE＝AD，∠ADE＝∠AED
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，求∠BAE的度数．
21．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝28，BE＝5，求AB的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标.
2023-2024学年河南省许昌市魏都区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
2．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（7．
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，比较简单．
3．（3分）等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．40°，40°或80°，20°
【分析】先根据平角等于180°求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣80°＝100°，
∴100°的内角是顶角，
（180°﹣100°）＝40°，
∴另两个内角是40°，40°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，是基础题，比较简单．
4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，若BE＝7，CE＝2（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：∵BE＝7，CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝6，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝5，
∵CF+CE＝EF，
∴CF＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13cm，则AE长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．10cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
C、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了三角形全等的判定．
7．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠2的度数等于（ ）
A．50°B．30°C．20D．15°
【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线性质得出∠2＝∠4，代入求出即可．
【解答】解：
∠4＝∠1+∠8＝30°+20°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，BD⊥DC，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝4即可得出结论．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE（ ）
①CE＝BF；②△ABD和△ADC的面积相等；③BF∥CE，BF均与AD垂直
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠BFD，但不一定是直角，BF均与AD不一定垂直；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
【分析】针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．
【解答】解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B、当∠A＝∠D＝90°时，不能判定△ABC和△DEF全等；
C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL．做题时要认真验证各选项是否符合全等要求．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 4（大于2小于8的数即可） ．（只填一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．
【解答】解：由题意得：5﹣3＜x＜8+3，
即：2＜x＜7，
∴x的值可以是：4（大于2小于5的数即可）．
故答案为：4（大于2小于7的数即可）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（3分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
13．（3分）已知等腰三角形两边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为 25 ．
【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，6，5+5＝10，
当等腰三角形的腰为10时，三边为7，10，周长为5+10+10＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
14．（3分）已知点A、B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： （0，4）或（4，0）或（4，4） ．
【分析】画出图形，根据全等三角形的性质和坐标轴与图形的性质可求点P的坐标．
【解答】解：如图所示，以A、B，
则点P的坐标为（0，4）或（6，4）．
故答案为：（0，2）或（4，4）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．
15．（3分）过等腰三角形的一个底角顶点向对边作垂线段，若垂线段与一腰的夹角是32°，则这个等腰三角形的顶角是 58°或122° °．
【分析】垂线段与一腰的夹角是32°，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论．
【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由已知可知，∠ABD＝32°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝58°，
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由已知可知，∠ABD＝32°，
又∵BD⊥AC，
∴∠DAB＝58°，
∴∠A＝122°，
故答案为：58°或122°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．正确分类是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A
【分析】证出∠C＝∠EDB，证明△EBD≌△BAC（ASA），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDB，
在△EBD和△BAC中，
，
∴△EBD≌△BAC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EBD≌△BAC是解题的关键．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED＝90°＝∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE＝∠DAC，又因为AD＝AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE＝AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE＝AC．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1 （1，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1即可．
（2）根据点C1的位置即可解决问题．
（3）利用分割法计算即可．
（4）连接BC1与y轴的交点即为所求的点P．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；
（2）由图象可知：C1（1，﹣2）；
故答案为（1，﹣1）．
（3）S＝5×5﹣×1×5﹣×2×3＝；
故答案为．
（4）如图，连接BC1与y轴的交点为P，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（9分）如图，∠B＝∠C，D在BC上，在AC上取AE＝AD，∠ADE＝∠AED
【分析】设∠EDC＝x，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADE+x＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+x，然后整理即可得解．
【解答】解：设∠EDC＝x，
由三角形的外角性质得，∠ADE+x＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠C+x+x＝∠B+∠BAD，
∵∠B＝∠C，
∴x＝∠BAD＝，
即∠EDC＝15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记三角形的外角性质列出等式是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，求∠BAE的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即可得出∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，从而求得∠B＝50°，然后根据平行线的性质即可求得∠BAE＝∠B＝50°．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，
∴∠B＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠BAE＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝28，BE＝5，求AB的长．
【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF，
∵AC＝28，CF＝BE＝5，
∴AE＝AF＝23
∴AB＝AE﹣BE＝23﹣5＝18．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，求B点坐标.
【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝4.5﹣1.5＝0.8（cm），
即BE的长为8.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，过A作AE⊥l于点E，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣5，0），3），
∴EG＝OA＝3，CG＝1，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝8，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+4＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣4＝1，
∴B点坐标为（4，2）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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