2023-2024学年上海市黄浦区高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分）
1. 实数4和9的等比中项为 .
2. 双曲线的实轴长为 .
3. 已知是等差数列，且，则 .
3. 直线与直线的夹角为 .
5. 椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为 .
6. 用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 .
7. 抛物线上的点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点的坐标为 .
8. 若等比数列的公比，且，则 .
9. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于两点，若，则 .
10. 已知无穷等比数列和，满足，的各项和为9，则数列的各项和为 .
11. 设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则 的面积为 .
12. 意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”。那么是斐波拉契数列中的第 项.
二、选择题（每题3分）
13. “”是直线与直线平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 90 B. 250 C. 210 D. 850
15. 对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
16. 若数列满足(，为常数)，则称数列为“调和数列”. 已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 100 C. 200 D. 400
三、解答题
17. （8分）已知为等差数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值.
18. （8分）已知圆，其中.
（1）已知圆与圆：外切，求的值；
（2）若直线与圆相交所得的弦长为，求的值.
19. （10分）已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.
（1）求2021年起前20季度营业额的总和；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？
20. （12分）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点满足，直线分别交椭圆于，探求直线是否过定点，若经过定点，请求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由.
21. （14分）已知数列是各项均不为零的等差数列，公差为，是其前项和，且满足，数列满足，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式和数列的前项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由.
答案
一、填空题
1. ； 2. 4； 3. 180； 4. ； 5. ；
6. ； 7. ； 8. 2； 9. 4； 10. ； 11. 12； 12. 2024
二、选择题
13. C； 14. D； 15. C； 16. B
三、解答题
17. （1）；（2）；
18. （1）；（2）；
19. （1）营业额是首项为1.1, 公差为0.05的等差数列，则亿；
（2）第n季度的营业额为:
第n季度的利润为:
依题意 ：, 解得 : n≥26
即今年起第26个季度时满足条件（或 2027 年第二季度）.
20. （1 ）；（2）；
21. （1 ）；；（2）；（3）存在，；