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    2.2基本不等式(第二课时)(课时作业)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)

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    高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题

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    这是一份高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题,共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1、已知函数(),当时,y取得最小值b,则( )
    A.B.2C.3D.8
    2、已知,,且,,则的最小值是( )
    A.0B.1C.2D.4
    3、已知正实数a,b,且,则的最小值是( )
    A.2B.C.D.
    4、已知正实数x、y满足,则的最小值为( )
    A.B.2C.D.
    5、若,则在
    ①,
    ②,
    ③,
    ④,
    这四个不等式中,不正确的有( )
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    6、已知,,且,若不等式恒成立,则实数m的取值范围为( )
    A.B.C.或D.或
    7、若实数m,,满足,以下选项中正确的有( )
    A.的最小值为B.的最小值为
    C.的最小值为D.的最小值为
    8、若不等式对任意正数a,b恒成立,则实数x的最大值为( )
    A.B.3C.D.1
    二、多项选择题
    9、已知,,,则( )
    A.的最大值为B.的最小值为
    C.的最大值为D.的最小值为9
    10、下列说法正确的有( )
    A.若,则的最大值是
    B.若x,y,z都是正数,且,则的最小值是3
    C.若,,,则的最小值是2
    D.若实数x,y满足,则的最小值是
    11、已知、,,则下列说法正确的是( )
    A.,B.的最小值为8
    C.的最小值为3D.的最小值为4
    12、已知正实数x,y满足,则( )
    A.B.的最小值为
    C.的最小值为9D.的最小值为
    三、填空题
    13、设,,且,则的最小值为_________.
    14、若,则的最大值是_________.
    15、对任意m,n为正实数,都有,则实数a的最大值为_________.
    16、某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米元,中间一条隔壁建造单价为每米元,池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为_________米时,可使总造价最低.
    四、解答题
    17、已知正数a、b满足.
    (1)求的最小值;
    (2)求的最小值.
    18、已知,.
    (1)若,,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
    (2)若不等式恒成立,求实数m的最小值;
    (3)若.且恒成立,求正实数a的最小值.
    19、如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为x m,宽为y m.
    (1)若菜园面积为,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?
    (2)若使用的篱笆总长度为30 m,求的最小值.
    20、已知a,b,c为正数,且满足.证明:
    (1);
    (2).
    21、已知a,b,c均为正实数.
    (1)求证:.
    (2)若,证明:.
    22、已知,,,求证:
    (1);
    (2).
    参考答案
    1、答案:C
    解析:因为,所以,,
    所以,
    当且仅当即时,取等号,所以y的最小值为1,
    所以,,所以,故选:C.
    2、答案:D
    解析:因为,,
    所以,
    当且仅当,即取等.故选:D.
    3、答案:C
    解析:因为正实数a,b,,故,
    所以,
    故,
    当且仅当,时取得等号,故选:C.
    4、答案:C
    解析:因为正实数x、y满足,等式两边同乘以可得,
    所以,,
    因为,解得,当且仅当时,等号成立.
    因此,的最小值为.故选:C.
    5、答案:B
    解析:因为,
    对于①中,由,当且仅当时,等号成立,所以①正确;
    对于②中,由,当且仅当时,等号成立,
    所以,所以②不正确;
    对于③中,由不等式,可得,
    两边同除,可得成立,所以③成立;
    对于④,由,
    可得,即,所以成立,所以④正确.
    故选:B.
    6、答案:B
    解析:,当且仅当时等号成立,
    解得,即.因为不等式恒成立,
    所以,即,解得.故选:B.
    7、答案:D
    解析:实数m,,,
    整理得,当且仅当时取“=”,故选项A错误;
    (,
    当且仅当时取“=”,故选项B错误;
    ,,
    ,当且仅当时取“=”,
    但已知,故不等式中的等号取不到,
    ,故选项C错误;
    ,,
    ,当且仅当时取“=”,故选项D正确,
    故选:D.
    8、答案:C
    解析:∵不等式对任意正数a,b恒成立,
    ∴(,)恒成立,
    ∵,
    当且仅当且,即时等号成立.∴.故选:C.
    9、答案:ABD
    解析:因为,,,
    所以,即,,当且仅当时等号成立,则A,B正确.
    ,当时取得最大值,则C错误.
    ,当且仅当时等号成立,则D正确.
    故选:ABD.
    10、答案:AB
    解析:对于A,因为,所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所的最大值为,故A正确;
    对于B,因为x,y,z都是正数,且,所以,,,所以,
    所以,
    当且仅当,即,即时等号成立,所以的最小值为3,故B正确;
    对于C,因为,,所以,即(当且仅当时等号成立),因为,所以,所以,所以,解得(舍去)或,当且仅当时等号成立,所以的最小值为4,故C错误;
    对于D,令,,则,,因为,所以x,y同号,则s,t同号,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最大值是,当且仅当时,等号成立,故D错误.
    故选:AB.
    11、答案:ABD
    解析:因为,所以且,可得.
    又且,可得,故A正确;
    ,即,当且仅当,时等号成立,故B正确;
    因为,所以.
    所以,
    当且仅当,时等号成立,故C错;
    将代入,可得,
    当且仅当时等号成立,此时,故D正确.
    故选:ABD.
    12、答案:AC
    解析:因为,则,即,
    又x,y为正实数,则,所以,,故A项正确;
    因为,所以,
    又,所以,故B项错误;
    因为,且x,y为正实数,即,则,
    所以,
    当且仅当,即,时等号成立,故C项正确;
    因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,但由可得,当时,,且,故D项错误.
    故选:AC.
    13、答案:
    解析:因为,,,
    所以.
    当且仅当,且,即时,等号成立.
    所以,的最小值为.
    14、答案:
    解析:因为,因为,所以,
    所以,
    当且仅当即时取得等号,所以,
    所以当时的最大值是,
    15、答案:
    解析:因为对任意m,n为正实数,都有,
    所以恒成立,也即,
    因为(当且仅当时,也即时等号成立)
    所以,则实数a的最大值为.
    16、答案:15
    解析:设泳池的长为x米,则宽为米,
    总造价
    (元),
    当且仅当,即时等号成立.
    即泳池的长设计为米时,可使总造价最低.
    17、答案:(1)9
    (2)
    解析:(1)因为,所以,又因为a、b是正数,
    所以,
    当且仅当时等号成立,故的最小值为9;
    (2)因为且a、b为正数,
    所以,,所以,,
    则,
    当且仅当、时等号成立,故的最小值为.
    18、答案:(1)
    (2)-4
    (3)4
    解析:(1),,
    恒成立等价于恒成立.又,

    当且仅当,即,即,时等号成立.
    ,.
    (2),,
    恒成立等价于恒成立.
    又,
    当且仅当,即时取等号,
    ,即.
    实数m的最小值为-4.
    (3),,

    当且仅当,即时等号成立.
    又恒成立,,
    或(舍去),.
    故正实数a的最小值为4.
    19、答案:(1)菜园的长x为12 m,宽y为6 m时,可使所用篱笆总长最小
    (2)
    解析:(1)由已知可得,而篱笆总长为.
    又,
    当且仅当,即,时等号成立.
    菜园的长x为12 m,宽y为6 m时,可使所用篱笆总长最小.
    (2)由已知得,
    又,
    ,当且仅当,即,时等号成立.
    的最小值是.
    20、答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    解析:(1),
    ,,
    当且仅当时,等号成立,因为a,b,c为正数,且满足,

    ,即.
    (2),

    当且仅当,,时,上式等号成立.
    21、答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    解析:(1)因为a,b,c均为正实数,
    所以(当且仅当时等号成立),
    (当且仅当时等号成立),
    (当且仅当时等号成立),
    以上三式相加,得(当且仅当时等号成立),
    所以(当且仅当时等号成立),
    即(当且仅当时等号成立).
    (2)由题可得,
    则左边

    当且仅当,,,,即时取“=”.
    故成立.
    22、答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    解析:(1)因,,,
    于是得:,
    当且仅当,即时等号成立,所以.
    (2)因,,,则,,
    因此,,
    当且仅当,即时等号成立,所以.

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