高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题
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这是一份高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题,共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1、已知函数(),当时,y取得最小值b,则( )
A.B.2C.3D.8
2、已知,,且,,则的最小值是( )
A.0B.1C.2D.4
3、已知正实数a,b,且,则的最小值是( )
A.2B.C.D.
4、已知正实数x、y满足,则的最小值为( )
A.B.2C.D.
5、若,则在
①,
②,
③,
④,
这四个不等式中,不正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
6、已知,,且,若不等式恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.或D.或
7、若实数m,,满足,以下选项中正确的有( )
A.的最小值为B.的最小值为
C.的最小值为D.的最小值为
8、若不等式对任意正数a,b恒成立,则实数x的最大值为( )
A.B.3C.D.1
二、多项选择题
9、已知,,,则( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为9
10、下列说法正确的有( )
A.若,则的最大值是
B.若x,y,z都是正数,且,则的最小值是3
C.若,,,则的最小值是2
D.若实数x,y满足,则的最小值是
11、已知、,,则下列说法正确的是( )
A.,B.的最小值为8
C.的最小值为3D.的最小值为4
12、已知正实数x,y满足,则( )
A.B.的最小值为
C.的最小值为9D.的最小值为
三、填空题
13、设,,且,则的最小值为_________.
14、若,则的最大值是_________.
15、对任意m,n为正实数,都有,则实数a的最大值为_________.
16、某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米元,中间一条隔壁建造单价为每米元,池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为_________米时,可使总造价最低.
四、解答题
17、已知正数a、b满足.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
18、已知,.
(1)若,,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若不等式恒成立,求实数m的最小值;
(3)若.且恒成立,求正实数a的最小值.
19、如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为x m,宽为y m.
(1)若菜园面积为,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长度为30 m,求的最小值.
20、已知a,b,c为正数,且满足.证明:
(1);
(2).
21、已知a,b,c均为正实数.
(1)求证:.
(2)若,证明:.
22、已知,,,求证:
(1);
(2).
参考答案
1、答案:C
解析:因为,所以,,
所以,
当且仅当即时,取等号,所以y的最小值为1,
所以,,所以,故选:C.
2、答案:D
解析:因为,,
所以,
当且仅当,即取等.故选:D.
3、答案:C
解析:因为正实数a,b,,故,
所以,
故,
当且仅当,时取得等号,故选:C.
4、答案:C
解析:因为正实数x、y满足,等式两边同乘以可得,
所以,,
因为,解得,当且仅当时,等号成立.
因此,的最小值为.故选:C.
5、答案:B
解析:因为,
对于①中,由,当且仅当时,等号成立,所以①正确;
对于②中,由,当且仅当时,等号成立,
所以,所以②不正确;
对于③中,由不等式,可得,
两边同除,可得成立,所以③成立;
对于④,由,
可得,即,所以成立,所以④正确.
故选:B.
6、答案:B
解析:,当且仅当时等号成立,
解得,即.因为不等式恒成立,
所以,即,解得.故选:B.
7、答案:D
解析:实数m,,,
整理得,当且仅当时取“=”,故选项A错误;
(,
当且仅当时取“=”,故选项B错误;
,,
,当且仅当时取“=”,
但已知,故不等式中的等号取不到,
,故选项C错误;
,,
,当且仅当时取“=”,故选项D正确,
故选:D.
8、答案:C
解析:∵不等式对任意正数a,b恒成立,
∴(,)恒成立,
∵,
当且仅当且,即时等号成立.∴.故选:C.
9、答案:ABD
解析:因为,,,
所以,即,,当且仅当时等号成立,则A,B正确.
,当时取得最大值,则C错误.
,当且仅当时等号成立,则D正确.
故选:ABD.
10、答案:AB
解析:对于A,因为,所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所的最大值为,故A正确;
对于B,因为x,y,z都是正数,且,所以,,,所以,
所以,
当且仅当,即,即时等号成立,所以的最小值为3,故B正确;
对于C,因为,,所以,即(当且仅当时等号成立),因为,所以,所以,所以,解得(舍去)或,当且仅当时等号成立,所以的最小值为4,故C错误;
对于D,令,,则,,因为,所以x,y同号,则s,t同号,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最大值是,当且仅当时,等号成立,故D错误.
故选:AB.
11、答案:ABD
解析:因为,所以且,可得.
又且,可得,故A正确;
,即,当且仅当,时等号成立,故B正确;
因为,所以.
所以,
当且仅当,时等号成立,故C错;
将代入,可得,
当且仅当时等号成立,此时,故D正确.
故选:ABD.
12、答案:AC
解析:因为,则,即,
又x,y为正实数,则,所以,,故A项正确;
因为,所以,
又,所以,故B项错误;
因为,且x,y为正实数,即,则,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,故C项正确;
因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,但由可得,当时,,且,故D项错误.
故选:AC.
13、答案:
解析:因为,,,
所以.
当且仅当,且,即时,等号成立.
所以,的最小值为.
14、答案:
解析:因为,因为,所以,
所以,
当且仅当即时取得等号,所以,
所以当时的最大值是,
15、答案:
解析:因为对任意m,n为正实数,都有,
所以恒成立,也即,
因为(当且仅当时,也即时等号成立)
所以,则实数a的最大值为.
16、答案:15
解析:设泳池的长为x米,则宽为米,
总造价
(元),
当且仅当,即时等号成立.
即泳池的长设计为米时,可使总造价最低.
17、答案:(1)9
(2)
解析:(1)因为,所以,又因为a、b是正数,
所以,
当且仅当时等号成立,故的最小值为9;
(2)因为且a、b为正数,
所以,,所以,,
则,
当且仅当、时等号成立,故的最小值为.
18、答案:(1)
(2)-4
(3)4
解析:(1),,
恒成立等价于恒成立.又,
,
当且仅当,即,即,时等号成立.
,.
(2),,
恒成立等价于恒成立.
又,
当且仅当,即时取等号,
,即.
实数m的最小值为-4.
(3),,
,
当且仅当,即时等号成立.
又恒成立,,
或(舍去),.
故正实数a的最小值为4.
19、答案:(1)菜园的长x为12 m,宽y为6 m时,可使所用篱笆总长最小
(2)
解析:(1)由已知可得,而篱笆总长为.
又,
当且仅当,即,时等号成立.
菜园的长x为12 m,宽y为6 m时,可使所用篱笆总长最小.
(2)由已知得,
又,
,当且仅当,即,时等号成立.
的最小值是.
20、答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析:(1),
,,
当且仅当时,等号成立,因为a,b,c为正数,且满足,
,
,即.
(2),
,
当且仅当,,时,上式等号成立.
21、答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析:(1)因为a,b,c均为正实数,
所以(当且仅当时等号成立),
(当且仅当时等号成立),
(当且仅当时等号成立),
以上三式相加,得(当且仅当时等号成立),
所以(当且仅当时等号成立),
即(当且仅当时等号成立).
(2)由题可得,
则左边
,
当且仅当,,,,即时取“=”.
故成立.
22、答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析:(1)因,,,
于是得:,
当且仅当,即时等号成立,所以.
(2)因,,,则,,
因此,,
当且仅当,即时等号成立,所以.
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