2023-2024学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x2+5B．ax2+bx+c＝0
C．x2+x＝﹣8D．2x2﹣y﹣1＝0
2．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
4．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝（ ）
A．5B．4C．3.5D．3
6．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．两条对角线相等的矩形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x（0≤x＜8）株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（3+x）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，则＝ ．
10．关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x+3k﹣1＝0，当k＝ 时为一元一次方程；当k 时为一元二次方程．
11．在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同，每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.6附近，则估计袋子中的红球的个数为 ．
12．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6＝0；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
15．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值．
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP＝BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连接PQ．
（1）求证：△APQ≌△QCE；
（2）求∠QAE的度数；
（3）设BQ＝x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．
填空题（每小题4分）
19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ ．
20．从3，﹣1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 ．
21．若，则直线y＝kx﹣k必经过第 象限．
22．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠CAB＝30°，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将△APQ沿AP翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
25．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
26．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OC＞OA，把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．
（1）求点E坐标；
（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG．
①试判断四边形BCGD的形状，并说明理由；
②求出四边形BCGD的面积．
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x2+5B．ax2+bx+c＝0
C．x2+x＝﹣8D．2x2﹣y﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
解：A．x2﹣2x+1＝x2+5，整理后可得2x+4＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2+x＝﹣8，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．2x2﹣y﹣1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【分析】利用x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，而x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，则可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，
x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，
4．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
解：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段不成比例；
∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝（ ）
A．5B．4C．3.5D．3
【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2AB＝8，得出OC＝AC＝4即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝8，
∴OC＝AC＝4；
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
6．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
【分析】根据配方法的步骤进行配方即可．
解：
移项得：x2+6x＝5，
配方可得：x2+6x+9＝5+9，
即（x+3）2＝14，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．两条对角线相等的矩形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
【分析】利用矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线垂直的矩形是菱形，故原命题错误；
D、四条边相等的四边形是菱形，故原命题错误，
故选：B．
【点评】考查了矩形、菱形及正方形的判定方法，掌握有关的判定方法是解答本题的关键，难度不大．
8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x（0≤x＜8）株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（3+x）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝15即可．
解：设每盆应该多植x株，
由题意得：（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，则＝ ．
【分析】根据比例的基本性质进行解答即可．
解：由可知，可设＝k，
即x＝3k，y＝4k，z＝6k，
代入式中为＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查比例的基本性质，关键是根据比例的性质解答．
10．关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x+3k﹣1＝0，当k＝ ﹣2 时为一元一次方程；当k ≠±2 时为一元二次方程．
【分析】根据一元一次方程的定义得出k﹣2≠0且k2﹣4＝0，求出即可；根据一元二次方程的定义得出k2﹣4≠0，求出即可．
解：关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x+3k﹣1＝0，
当方程为一元一次方程时，，
解得k＝﹣2；
当方程为一元二次方程时，k2﹣4≠0，
解得k≠±2．
故答案为：﹣2；≠±2．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程和一元二次方程的定义是解此题的关键．
11．在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同，每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.6附近，则估计袋子中的红球的个数为 12 ．
【分析】根据频率估算出概率，然后计算即可．
解：20×0.6＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率知识是解题的关键．
12．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为 （40﹣2x）（26﹣x）＝800 ．
【分析】把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可．
解：草坪可整理为一个矩形，长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米，
即列的方程为（40﹣2x）（26﹣x）＝800，
故答案为（40﹣2x）（26﹣x）＝800．
【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“花草的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 3 ．
【分析】根据菱形的性质可得AC＝2AO＝8，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6＝0；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求解即可；
（2）方程利用公式法求解即可．
解：（1）x2﹣6x﹣6＝0，
x2﹣6x＝6，
x2﹣6x+9＝15，
（x﹣3）2＝15，
x﹣3＝，
x＝3，
∴，；
（2）2x2﹣3x+1＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝1，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法和公式法是解答本题的关键．
15．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
16．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BD⊥AC，AO＝CO，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出∠BAO＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BO，求出BD，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，再根据勾股定理求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BOC＝∠AOB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵AB＝2，BO＝DO，
∴BO＝DO＝AB＝1，
即BD＝1+1＝2，
∵∠AOB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴BE＝2BD＝4，
由勾股定理得：DE＝＝＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值．
【分析】（1）先求出△的值，再通过配方得出Δ＞0，即可得出结论；
（2）根据x1、x2是原方程的两根，得出x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，再根据|x1﹣x2|＝2，得出（x1﹣x2）2＝8，再根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，代入计算即可．
解：（1）∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）＝8，
∴m1＝1，m2＝﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP＝BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连接PQ．
（1）求证：△APQ≌△QCE；
（2）求∠QAE的度数；
（3）设BQ＝x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．
【分析】（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ＝∠QCE＝135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ＝∠CQE，再求出AP＝CQ，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ＝EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF＝45°，从而得到∠GAF＝∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF＝GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF＝45°，然求出CQ＝CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC，
∵BP＝BQ，
∴△PBQ是等腰直角三角形，AP＝CQ，
∴∠BPQ＝45°，
∵CE为正方形外角的平分线，
∴∠APQ＝∠QCE＝135°，
∵AQ⊥QE，
∴∠CQE+∠AQB＝90°，
又∵∠PAQ+∠AQB＝90°，
∴∠PAQ＝∠CQE，
在△APQ和△QCE中，
，
∴△APQ≌△QCE（ASA）；
（2）解：∵△APQ≌△QCE，
∴AQ＝EQ，
∵AQ⊥QE，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠QAE＝45°；
（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
则AQ＝AG，BQ＝DG，∠BAQ＝∠DAG，
∵∠ADG+∠ADF＝180°，
∴F，D，G共线，
∵∠QAE＝45°，
∴∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠QAF，
在△AQF和△AGF中，
，
∴△AQF≌△AGF（SAS），
∴QF＝GF，
∵QF∥CE，
∴∠CQF＝45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ＝CF，
∵BQ＝x，
∴CQ＝CF＝2﹣x，
∴DF＝2﹣（2﹣x）＝x，
∴QF＝GF＝2x，
在Rt△CQF中，CQ2+CF2＝QF2，
即（2﹣x）2+（2﹣x）2＝（2x）2，
解得x＝2﹣2，
∴△AGF的面积＝×2×（2﹣2）×2＝4﹣4，
即△AQF的面积为4﹣4．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．
填空题（每小题4分）
19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ 8 ．
【分析】根据m+n＝﹣＝﹣2，m•n＝﹣5，即可解题．
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∵m2+2m﹣5＝0
∴m2＝5﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．
20．从3，﹣1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 ．
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
解：∵函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、四象限，
∴b2﹣4＜0，
解得：﹣2＜b＜2
∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零，
∴（﹣b）2﹣4（b+1）＜0，
∴2﹣2＜b＜2+2，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
21．若，则直线y＝kx﹣k必经过第 一、三 象限．
【分析】根据，可以求得k的值，然后即可得到直线y＝kx﹣k经过的象限，本题得以解决．
解：∵，
∴c＝k（a+b），a＝k（b+c），b＝k（a+c），
∴a+b+c＝2k（a+b+c），
∴a+b+c＝0或k＝，
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，则k＝＝﹣1，此时直线y＝﹣x+1，经过第一、二、四象限，
当k＝时，此时直线y＝x﹣，经过第一、三、四象限，
由上可得，直线y＝kx﹣k必经过第一、三象限，
故答案为：一、三．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 6+2 ．
【分析】根据直线y＝x+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．
解：如图，连接CH，
∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴OB＝4，OA＝3，
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝2，
∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，
∴四边形PHOC是矩形，
∴PH＝OC＝BC＝2，
∵PH∥BC，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴BP＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，
要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q（﹣6，﹣4），
又∵点C（0，2），
根据勾股定理可得CQ＝＝6，
此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，
即BP+PH+HQ的最小值为6+2；
故答案为：6+2．
【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠CAB＝30°，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将△APQ沿AP翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为 2 ．
【分析】根据题意得：AP＝t，AQ＝6﹣2t，过点Q作QM⊥AB于点M，然后根据30°角直角三角形的性质得到QM＝AQ＝3﹣t，最后根据勾股定理列出方程求解即可．
解：根据题意得：AP＝t，AQ＝6﹣2t，
如图所示，过点Q作QM⊥AB于点M，
∵翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，
∴AQ＝PQ，
∴AM＝AP＝t，
∵∠CAB＝30°，
∴QM＝AQ＝3﹣t，
∴在Rt△AQM中，AM2+QM2＝AQ2，
∴（3﹣t）2+（t）2＝（6﹣2t）2，
解得：t＝2或6（舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
26．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OC＞OA，把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．
（1）求点E坐标；
（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG．
①试判断四边形BCGD的形状，并说明理由；
②求出四边形BCGD的面积．
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，OC＞OA，求出OA，OC，证明OE＝EB，时AE＝x，则OE＝BE＝8﹣x，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程求解即可．
（2）①四边形BCGD是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
②在Rt△BDE中根据等面积法，算出DH，再根据勾股定理算出BH，根据菱形面积计算公式即可解答；
（3）有5种情形，画出图形分别求解即可．
解：（1）∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，OC＞OA，
∴OA＝4，OC＝8，
如图1中，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝8，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠BOC，
由翻折可知，∠BOC＝∠BOD，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x，
在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°，
∴OA2+AE2＝OE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴E（3，4）．
（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．
∵DG∥BC，
∴∠DGB＝∠CBG，
由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD，
∴∠DGB＝∠DBG，
∴DG＝BD＝BC，
∵DG∥BC，
∴四边形BCGD是平行四边形，
∵BD＝BC，
∴四边形BCGD是菱形．
②由题意可得：BC＝AO＝BD＝DG＝4，
由（1）可得：AE＝3，BE＝8﹣3＝5，∠BDE＝∠BCO＝90°，
在Rt△BDE中，可得：BD•DE＝，
∴，
∵四边形BCGD是菱形，
∴；
（3）当点N与G重合，点M与A重合，四边形DM1ON1是平行四边形，
∵DH＝＝，
∴EH＝＝＝，
∴AH＝3+＝，
∴D（，），N1（，），
当四边形ODN1M是平行四边形时，N1（，），
当四边形ODN2M2是平行四边形时，N2（），
当四边形ODM1N3是平行四边形时，N3（﹣，﹣），
当四边形ODM4N4是平行四边形时，N4（﹣，﹣）
综上所述，满足条件的点N的坐标为N1（，），N2（，），N3（﹣，﹣），N4（﹣，﹣）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
﹣0.02
0.03
0.09
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.06
﹣0.02
0.03
0.09
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%