2023-2024学年广西南宁市江南区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁市江南区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．2m2+m2＝3m4B．m2•m4＝m8
C．m4÷m2＝m2D．（m2）4＝m6
3．不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将抛物线y＝x2向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝x2+1
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个根是1，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB长5cm，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（﹣3，0）C．（3，3）D．（0，﹣3）
8．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
A．＜B．＞
C．＝D．无法确定
9．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．我们把这样的三角形叫做黄金三角形，则∠ADB的度数为（ ）
A．98°B．108°C．118°D．128°
10．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OD，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式kx+m＜ax2+bx+c的解集为（ ）
A．x＞﹣1或x＞4B．﹣1＜x＜4C．x＜﹣1D．x＞4
二、填空题。（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．化简：＝ ．
14．分解因式：2x+2＝ ．
15．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ．
16．若y＝xm﹣2是二次函数，则m＝ ．
17．小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
18．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与BC、CD相交于点E、F，且∠EAF＝60°，设CE＝x，△AEF的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．计算：（﹣6）÷（﹣3）+22×（1﹣2）．
20．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，当⊙O的半径为2时，求BD的长．
22．小明想用描点法画抛物线c：y＝x2﹣4x+3．
（1）请帮小明完成下面表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线；
​（2）抛物线的对称轴为直线x＝ ，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
23．端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 分；
（2）a＝ ，b＝ ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，设移动时间为t．
​（1）则PA＝ ，PB＝ ，BQ＝ ；（用含t的式子表示）
（2）求出△BPQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围；
（3）结合（2）所得的函数，描述△BPQ的面积S随移动时间t增大如何变化．
26．（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
参考答案
一、选择题。（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．下列标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．2m2+m2＝3m4B．m2•m4＝m8
C．m4÷m2＝m2D．（m2）4＝m6
【分析】根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
解：2m2+m2＝3m2，则A不符合题意；
m2•m4＝m6，则B不符合题意；
m4÷m2＝m2，则C符合题意；
（m2）4＝m8，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
解：不等式x＞1的解集在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
4．将抛物线y＝x2向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝x2+1
【分析】直接根据“上加下减”的法则即可得出结论．
解：抛物线y＝x2向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为：y＝x2+1．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个根是1，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
解：把x＝1代入方程x2﹣2x+k＝0，可得12﹣2+k＝0，即k＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB长5cm，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由条件判定△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，由圆周角定理推出∠ACB＝∠AOB＝30°．
解：∵AO＝BO＝5cm，AB＝5cm，
∴AO＝BO＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB．
7．以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（﹣3，0）C．（3，3）D．（0，﹣3）
【分析】建立平面直角坐标系，数形结合求出点B的坐标即可．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由图可知：B（0，3）；
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系下的旋转，利用数形结合的思想求解更形象直观．
8．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
A．＜B．＞
C．＝D．无法确定
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
∴＞．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．我们把这样的三角形叫做黄金三角形，则∠ADB的度数为（ ）
A．98°B．108°C．118°D．128°
【分析】设∠A＝x，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABD＝x，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC＝2x，然后再利用等腰三角形的性质可得∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2x，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
解：设∠A＝x，
∵AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BDC＝2x＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，黄金分割，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”列方程求解．
解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OD，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意得到，进而求出OE＝OB﹣BE＝2，根据垂径定理和勾股定理求出，即可求出CD的长
解：∵AB＝6，
∴，
∵BE＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝2，
∵CD⊥AB，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
12．如图，直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式kx+m＜ax2+bx+c的解集为（ ）
A．x＞﹣1或x＞4B．﹣1＜x＜4C．x＜﹣1D．x＞4
【分析】利用函数图象，找出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．
解：∵直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，
∴当﹣1＜x＜4时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式kx+m＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．数形结合思想的应用是解决问题的关键．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．化简：＝ 2 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
解：＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14．分解因式：2x+2＝ 2（x+1） ．
【分析】直接提取公因式2，进而分解因式得出答案．
解：2x+2＝2（x+1）．
故答案为：2（x+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 （3，5） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．若y＝xm﹣2是二次函数，则m＝ 4 ．
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解：∵函数y＝xm﹣2是二次函数，
∴m﹣2＝2，
∴m＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．
17．小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 100 N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．
解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，
∴函数的解析式为F＝，
当L＝1.5时，F＝＝400，
当L＝2时，F＝＝300，
因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，
故答案为：100．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
18．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与BC、CD相交于点E、F，且∠EAF＝60°，设CE＝x，△AEF的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为 y＝x2﹣x+ ．
【分析】由“ASA”可证△AEB≌△AFC，可得AE＝AF，可证△AEF为等边三角形，由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解．
解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝4，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴∠BAE+∠EAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，AH＝BH＝2，
∵AE2＝AH2+HE2，
∴AE2＝12+（3﹣x）2＝x2﹣6x+21，
∴y＝AE2＝x2﹣x+，
故答案为：y＝x2﹣x+．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明△AEF为等边三角形是解题的关键．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．计算：（﹣6）÷（﹣3）+22×（1﹣2）．
【分析】先算乘方，括号里的运算，再算乘法与除法，最后算加减即可．
解：（﹣6）÷（﹣3）+22×（1﹣2）
＝（﹣6）÷（﹣3）+4×（﹣1）
＝2﹣4
＝﹣2．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，
△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，
x＝＝，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，当⊙O的半径为2时，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）由题意可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，进而可得∠ABD＝∠ACD＝45°，在Rt△ABD中，AB＝4，根据BD＝AB•cs45°可得答案．
解：（1）如图，CD即为所求.
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，BD＝AB•cs45°＝4×＝，
∴BD的长为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图方法、圆周角定理是解答本题的关键．
22．小明想用描点法画抛物线c：y＝x2﹣4x+3．
（1）请帮小明完成下面表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线；
​（2）抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ，当 x＞2 时，y随x的增大而增大；当 x＜2 时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）将x＝0，x＝2，x＝3分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可；
（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
解：（1）∵y＝x2﹣4x+3，
∴当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝3；
故答案为：3，0，0，3；
抛物线如图所示；
（2）由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
故答案为：2，x＞2，x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，正确画出相应的图象．
23．端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 1 ，七年级活动成绩的众数为 8 分；
（2）a＝ 2 ，b＝ 3 ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
解：（1）根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1﹣50%﹣20%﹣20%＝10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%＝1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8．
（2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a＝5﹣1﹣2＝2，
b＝10﹣1﹣2﹣2﹣2＝3，
故答案为：2，3．
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%＝40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%＝8.5，
八年级优秀率为＞40%，平均成绩为：＜8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
【点评】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODE＝∠OBF，而OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△DOE≌△BOF；
（2）由OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，得DE＝BE，DF＝BF，由△DOE≌△BOF，得DE＝BF，则DE＝BE＝DF＝BF，所以四边形EBFD是菱形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：四边形EBFD是菱形，理由如下：
∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，DF＝BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE＝BF，
∵DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形EBFD是菱形．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，证明∠ODE＝∠OBF及直线l垂直平分线段BD是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，设移动时间为t．
​（1）则PA＝ 2tcm ，PB＝ （12﹣2t）cm ，BQ＝ 4tcm ；（用含t的式子表示）
（2）求出△BPQ的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围；
（3）结合（2）所得的函数，描述△BPQ的面积S随移动时间t增大如何变化．
【分析】（1）根据题意用t表示出PA、PB、BQ；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
解：（1）由题意得：PA＝2tcm，BQ＝4tcm，
则BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；
（2）S△BPQ＝BQ•BP＝•4t•（12﹣2t）＝﹣4t2+24t（0＜t＜6）；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t2﹣6t+9﹣9）
＝﹣4（t﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴是t＝3，
当0＜t≤3时，S随移动时间t增大而增大，
当3＜t＜6时，S随移动时间t增大而减小．
【点评】本题考查的是二次函数的应用、三角形的面积计算，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
【分析】（1）证PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，则PN＝BC，PM＝AD，再证PM＝PN，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PN∥BC，PM∥AD，再由平行线的性质得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，然后由（1）可知∠PNM＝∠PMN，即可得出结论；
（3）连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由三角形中位线定理得PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，再证△CGN是等边三角形．得CN＝GN，则DN＝GN，然后由等腰三角形的性质得∠NDG＝∠NGD＝30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝x2﹣4x+3
…
8
﹣1
…
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
x
…
﹣1
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y＝x2﹣4x+3
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人数
1
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a
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2