华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质课后练习题
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知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
1.(2023河南周口淮阳期末)如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是 ( )
A.逐渐变大 B.不断变小
C.不变 D.先变大再变小
2.【新考法】(2023海南海口九中海甸分校月考)一副三角板按如图所示的位置摆放,△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC中斜边AC的中点M,BE交AC于点F,
则∠BFM= °.
3.【新独家原创】如图,已知点D是△ABC中边AB的中点,∠ACB=∠A+∠B,AC=6,BC=8,求CD的值.
4.【一题多变】(2023山西晋城陵川月考)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是AB边上的中线,G是CE的中点,DG⊥CE于点G.求证:∠B=2∠BCE.
[变式](2023湖南衡阳华新实验中学期中)如图,BD、CE是△ABC不同边上的高,点G、F分别是BC、DE的中点,试证明GF⊥DE.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
5.【新情境·衣架】(2023山西吕梁汾阳期末)如图,衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
6.(2023吉林长春绿园期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8.若E、F是BC边上的两个动点,以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC的内部或边上,则等边△EFP的周长的最大值为 .
7.【新情境·双翼闸门】(2023河南许昌禹州期中)图1是某超市门口的双翼闸门,当它的双翼展开时,如图2,双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,双翼的边缘AC=BD=62 cm,且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度.
图1 图2
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8.【跨学科·物理】(2022山西长治模拟,6,★★☆)如图,在长方形台球桌上打台球时,如果击打黑球时入射角∠1=30°,恰好使黑球在上边框的点A处反弹后进入袋中,点A到右边框BC的距离为3,则黑球从点A到进袋所走过的路径AC约为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(2022辽宁大连中考,9,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.分别以点A和点C为圆心,大于12AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN.直线MN与AB相交于点D,连结CD,若AB=3,则CD的长是( )
A.6 B.3 C.1.5 D.1
10.(2023河南开封金明中学期末,15,★☆☆)如图,已知∠AOB=60°,点P在OA边上,OP=12 cm,点E、F在边OB上,且PE=PF,若EF=2 cm,则OE= cm.
11.(2023陕西西安碑林模拟,13,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,以AC为斜边作Rt△ADC.使∠ADC=90°,∠CAD=∠CAB,E、F分别是BC、AC的中点,连结EF、DE、DF,则DE的长为 .
12.(2023河南鹤壁淇滨期中)如图所示,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险?
13.(2023四川资阳安岳期末)已知:如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=45°,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线.
(1)求证:AE=CD;
(2)求∠ACE的度数.
14.(2023吉林长春净月期末)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点.
(1)求证:DE=CE;
(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC的度数.
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15.【推理能力】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,点F是BD的中点.
(1)求证:EF⊥BD;
(2)若∠BED=90°,求∠BCD的度数;
(3)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数.(用含α的代数式表示)
答案全解全析
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1.C ∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=12AB,
∵木杆AB的长固定,∴OP的长度不变.
2.75
解析 本题借助一副三角板考查直角三角形斜边上的中线的性质. ∵M是Rt△ABC中斜边AC的中点,∴BM=CM,∴∠MBC=∠C=30°,∵∠DBE=∠DEB=45°,∴∠EBC=
∠EBD+∠MBC=75°,∵∠BFM+∠FBC+∠C=180°,∴∠BFM=180°-30°-75°=75°.
3.解析 ∵∠ACB=∠A+∠B,∠A+∠ACB+∠B=180°,∴∠ACB=90°,∵D是斜边AB的中点,∴CD=12AB. ∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC2+BC2=62+82=10,
∴CD=5.
4.证明 如图,连结DE,∵G是CE的中点,DG⊥CE,∴直线DG是线段CE的垂直平分线,∴DE=DC,∵AD⊥BC,CE是AB边上的中线,∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,∴DE=BE=12AB. ∵DE=DC,∴∠DEC=∠BCE,∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE.
[变式]证明 如图,连结EG、DG,∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高,点G是BC的中点,∴DG=EG=12BC,∵点F是DE的中点,∴GF⊥DE.
5.C ∵AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠ABC=30°,
∴AD=12AB=13(cm).
6.63
解析 如图,当点F与C重合时,△EFP的边长最大,周长也最大,∵∠ACB=90°,
∠PFE=60°,∴∠PCA=30°,∵∠A=60°,∴∠APC=90°,在Rt△ABC中,AC=12AB=4.
在Rt△ACP中,AP=12AC=2,∴PC=AC2-AP2=42-22=23,∴等边△EFP的周长的最大值为23×3=63.
7.解析 如图,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F,在Rt△ACE中,
∠ACE=30°,∴AE=12AC=12×62=31(cm),同理可得BF=31 cm,∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,∴31+12+31=74(cm),∴当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为74 cm.
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8.D ∵反射角等于入射角,∴∠1=∠2=30°. 由题意可得∠2+∠3=90°,∴∠3=60°,
∵∠ABC=90°,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=6.
9.C 由已知可得直线MN是线段AC的垂直平分线,设AC与MN的交点为E,
∵∠ACB=90°,MN垂直平分AC,∴∠AED=∠ACB=90°,AE=CE,∴ED∥CB,∴△AED∽△ACB,∴AEAC=ADAB,∴12=ADAB,∴AD=12AB,∴点D为AB的中点,∵AB=3,∠ACB=90°,
∴CD=12AB=1.5.
10.5
解析 如图,过P作PD⊥OB于D,∵PE=PF,EF=2 cm,∴ED=FD=1 cm,∵PD⊥OB,
∴∠PDO=90°,∵∠POB=60°,∴∠OPD=30°,∴OD=12OP,∵OP=12 cm,∴OD=6 cm,
∴OE=OD-ED=6-1=5(cm).
11.22
解析 ∵∠CAD=∠CAB,∠CAB=30°,∴∠CAD=30°,∵∠ADC=90°,点F是AC的中点,AC=4,∴DF=AF=12AC=2,∴∠CAD=∠ADF=30°,∴∠DFC=∠CAD+∠ADF=60°,
∵E、F分别是BC、AC的中点,∴EF=12AB=2,EF∥AB,∴∠EFC=∠BAC=30°,∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=90°. 在Rt△DFE中,DE=DF2+EF2=22+22=22.
12.解析 如图,作PC⊥AB于点C.∵∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°,∠PBC=∠PAB+∠APB,∴∠PAB=∠APB=15°,∴BP=AB=20×2=40(海里),在Rt△PBC中,PC=12PB=40×12=20(海里)<22海里,即若轮船仍向前航行,有触礁的危险.
13.解析 (1)证明:如图,连结DE,∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∵∠B=30°,
∠ACB=45°,∴∠BAD=60°,∠DAC=∠ACD=45°,∴AD=CD,∵点E是AB的中点,
∠ADB=90°,∴BE=DE=AE=12AB,∴△AED是等边三角形,∴AD=AE,∴AE=CD.
(2)∵DE=EB,∴∠B=∠EDB=30°,∴∠DEC+∠DCE=30°,∵DE=AD,AD=CD,∴DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=15°,∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=30°,∴∠ACE的度数为30°.
14.解析 (1)证明:∵在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点,∴DE=12AB,CE=12AB,∴DE=CE.
(2)在Rt△ADB和Rt△ABC中,∵∠ADB=90°,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DBA=40°,
∴∠DAB=90°-∠DBA=50°,∠ABC=90°-∠CAB=60°,∵E是AB的中点,
∴DE=12AB=AE,CE=12AB=BE,∴∠ADE=∠DAB=50°,∠ECB=∠ABC=60°,
∴∠DEA=180°-2∠DAB=180°-100°=80°,∠CEB=180°-2∠ECB=180°-120°=60°,
∴∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°.
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15.解析 (1)证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,∴DE=12AC,BE=12AC,
∴DE=BE,
∴△BED是等腰三角形,
又∵点F是BD的中点,∴EF⊥BD.
(2)∵∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,
∴DE=12AC=EC,BE=12AC=EC,
∴∠EDC=∠ECD,∠EBC=∠ECB,
在四边形DEBC中,∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°,∠BED=90°,
∴2∠ECD+2∠ECB+90°=360°,
∴∠ECD+∠ECB=135°,即∠BCD=135°.
(3)∠BCD=180°-12α.
提示:∵∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,
∴DE=12AC=EC,BE=12AC=EC,
∴∠EDC=∠ECD,∠EBC=∠ECB,
在四边形DEBC中,∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°,∠BED=α,
∴2∠ECD+2∠ECB+α=360°,
∴∠ECD+∠ECB=180°-12α,即∠BCD=180°-12α.
浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.7 图形的位似同步测试题: 这是一份浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.7 图形的位似同步测试题,共10页。
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