2020-2021学年广东省深圳市福田区教科院附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区教科院附中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．以下实数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
2．3的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±D．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．＝±6C．D．
4．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．3，4，5C．5，12，13D．20，30，40
5．若点P（x，5）在第二象限内，则x应是（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．有理数
6．下面哪个点在函数y＝﹣3x+4的图象上（ ）
A．（5，13）B．（﹣1，1）C．（3，0）D．（1，1）
7．下列方程中是二元一次方程的有（ ）
①﹣m＝12；
②z+1；
③＝1；
④mn＝7；
⑤x+y＝6z
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
9．在一次函数y＝﹣x+9的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），已知x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
10．一次函数y＝5x﹣2的图象经过的象限为（ ）
A．一、二、三象限B．一、三、四象限
C．一、二、四象限D．二、三、四象限
11．如图，有两棵树，一棵高10米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
12．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时（ ）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）
二、填空题（共四题：共12分）
13．的倒数是 ；的相反数是 ；绝对值等于的数是 ．
14．已知|a﹣6|+（2b﹣16）2+＝0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是 ．
15．一次函数y＝2x﹣1的图象与两坐标轴围成三角形的面积为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝BD＝4，CB⊥BD，BE＝1，则AC＝ ．
三、解答题（共七题：共52分）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
19．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值．
20．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝6，AE＝．
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）写出A点的坐标；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1，C1的坐标；（直接写答案）
（3）求△ABC的面积．
22．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发（小时），两车之间距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系．
（1）甲乙两地之间的距离为 千米；
（2）两车经过 小时相遇；
（3）求慢车和快车的速度．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A （0，6）（8，0），点C为x轴正半轴上一点，连接AC，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使S△COP＝；
（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共十二题：共36分）
1．以下实数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：是有限小数，属于有理数；
B.是分数；
C.，是整数；
D.，是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．3的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±D．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答．
解：∵（）2＝2，
∴3的算术平方根是．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是基础题，比较简单．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．＝±6C．D．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
解：A、原式＝|﹣3|＝3；
B、原式＝6；
C、原式不能合并；
D、原式不能合并．
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．3，4，5C．5，12，13D．20，30，40
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解：A、1.53+22＝6.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、82+47＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122＝136，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠405，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．若点P（x，5）在第二象限内，则x应是（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．有理数
【分析】在第二象限时，横坐标＜0，纵坐标＞0，因而就可得到x＜0，即可得解．
解：∵点P（x，5）在第二象限，
∴x＜0，即x为负数．
故选：B．
【点评】解决本题解决的关键是熟记在各象限内点的坐标的符号，第一象限点的坐标符号为（+，+），第二象限点的坐标符号为（﹣，+），第三象限点的坐标符号为（﹣，﹣），第四象限点的坐标符号为（+，﹣）．
6．下面哪个点在函数y＝﹣3x+4的图象上（ ）
A．（5，13）B．（﹣1，1）C．（3，0）D．（1，1）
【分析】将点的横坐标代入解析式，进行求解后判断即可．
解：A、当x＝5时，故（5；
B、当x＝﹣5时，故（﹣1；
C、当x＝3时，故（3；
D、当x＝1时，故（1；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征．熟练掌握一次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，是解题的关键．
7．下列方程中是二元一次方程的有（ ）
①﹣m＝12；
②z+1；
③＝1；
④mn＝7；
⑤x+y＝6z
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
解：①﹣m＝12，不符合题意；
②y＝，是二元一次方程；
③＝1，不符合题意；
④mn＝7，是二元二次方程；
⑤x+y＝8z，是三元一次方程，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
8．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
解：当等于最小的正整数1时，则n＝11．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
9．在一次函数y＝﹣x+9的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），已知x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】根据一次函数的性质，进行判断即可．
解：∵y＝﹣x+9，k＝﹣1＜8，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数y＝﹣x+9的图象上有两个点A（x1，y8），B（x2，y2），x4＞x2，
∴y1＜y4；
故选A．
【点评】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
10．一次函数y＝5x﹣2的图象经过的象限为（ ）
A．一、二、三象限B．一、三、四象限
C．一、二、四象限D．二、三、四象限
【分析】由k＝5＞0，b＝﹣2＜0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝5x﹣2的图象经过第一、三、四象限．
解：∵k＝5＞0，b＝﹣8＜0，
∴一次函数y＝5x﹣6的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
11．如图，有两棵树，一棵高10米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝，
故选：B．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
12．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时（ ）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，如图所示．
令y＝x+8中x＝0，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，7）．
∵点C、D分别为线段AB，
∴点C（﹣3，2），5）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣5，2），﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝3x﹣3，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，此时PC+PD值最小．
令y＝x+4中x＝3，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝5，则，解得：x＝﹣8，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB，
∴点C（﹣8，2），2），
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（2，﹣2）．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．
二、填空题（共四题：共12分）
13．的倒数是 ；的相反数是 ﹣ ；绝对值等于的数是 ．
【分析】绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数，两个相乘等于1的数互为倒数，由此可得出答案．
解：∵×＝1，
∴的倒数等于；
∵﹣2与4只有符号相反，
∴的相反数等于﹣；
∵绝对值等于的数有4个，
∴绝对值等于的数是：．
故答案为：，﹣，．
【点评】本题考查的是倒数、相反数的概念及绝对值的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
14．已知|a﹣6|+（2b﹣16）2+＝0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是 直角三角形 ．
【分析】根据非负数的性质可得a﹣6＝0，2b﹣16＝0，10﹣c＝0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状．
解：由题意得：a﹣6＝0，7b﹣16＝0，
解得：a＝6，b＝5，
∵62+52＝102，
∴三角形为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．一次函数y＝2x﹣1的图象与两坐标轴围成三角形的面积为 ．
【分析】先令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值即可得出直线与x、y轴的交点，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵令x＝0，则y＝﹣1，则x＝，
∴一次函数y＝2x﹣4的图象与两坐标轴的交点分别为（0，﹣1），（，
∴一次函数y＝2x﹣2的图象与两坐标轴围成三角形的面积＝××1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝BD＝4，CB⊥BD，BE＝1，则AC＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵AB＝BD＝4，
∴∠BAE＝∠BDE，
∵CB⊥BD，
∴∠DBE＝∠CAB＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠DEB，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝EC，
∵BE＝1，
∴BC＝AC+2，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴AC2+44＝（AC+1）2，
∴AC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．
三、解答题（共七题：共52分）
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先化简各式，再进行加减运算；
（3）先进行零指数幂、负整数指数幂和乘法运算，再进行加减运算；
（4）先进行完全平方公式，二次根式的乘除法，再进行加法运算．
解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝7+3﹣2×7
＝4﹣6
＝﹣4；
（4）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的运算．熟练掌握零指数幂、负整数指数幂，二次根式的运算法则，是解题的关键．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法即可求解；
（2）利用加减消元法即可求解．
解：（1），
把①代入②，得 5x+2（x﹣4）＝12，
解这个方程，得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝2﹣1，
解得y＝1，
所以这个方程组的解是；
（2），
①×3，得6x+4y＝21③，
②+③，得 13x＝26，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得3+y＝7，
解得y＝3，
所以这个方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入y＝（2m+1）x+m﹣3可计算出m的值；
（2）根据两直线平行的问题得到2m+1＝3，然后解一次方程即可．
解：（1）∵y＝（2m+1）x+m﹣4经过原点，是正比例函数，
∴．
解得：m＝8．
（2）∵函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，
∴3m+1＝3，
解得：m＝3．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
20．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝6，AE＝．
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC和CE的长；
（2）根据勾股定理的逆定理判定即可．
【解答】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，DE＝4，
∴CE＝＝＝＝5，
（2）证明：∵AC＝，CE＝，
∴AE2＝AC2+CE5，
∴∠ACE＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）写出A点的坐标；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1，C1的坐标；（直接写答案）
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接写出A点的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质，进行作图即可；
（3）用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可．
解：（1）由图可知：A（﹣3，2）；
（2）如图所示，△A4B1C1即为所求；
由图可知B5（4，﹣3），C7（3，2）；
（3）△ABC的面积为．
【点评】本题考查坐标与轴对称，坐标与图形．熟练掌握成轴对称的性质，是解题的关键．
22．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发（小时），两车之间距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系．
（1）甲乙两地之间的距离为 900 千米；
（2）两车经过 4 小时相遇；
（3）求慢车和快车的速度．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到甲乙两地之间的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到两车经过几个小时相遇；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出两车的速度．
解：（1）由图象可得，
甲乙两地之间的距离为900千米，
故答案为：900；
（2）由图象可得，
两车经过4小时相遇，
故答案为：4；
（3）慢车的速度为：900÷12＝75（千米/小时），
快车的速度为：900÷5﹣75＝225﹣75＝150（千米/小时），
答：慢车和快车的速度分别为75千米/小时、150千米/小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A （0，6）（8，0），点C为x轴正半轴上一点，连接AC，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使S△COP＝；
（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A （0，6）、B （8，0）即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝＝＝10，由折叠的性质的AD＝AB＝10，设OC＝x，则BC＝CD＝8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）设P（m，﹣m+6），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）连接BD，则△ABD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A （0，6），5）的坐标代入得：，
解得：，
∴AB的解析式为：；
（2）∵点A （0，6），2），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝＝10，
由折叠的性质的AD＝AB＝10，
设OC＝x，则BC＝CD＝8﹣x，
∵OA＝6OB＝8，
∴AD＝AB＝10，
从而可知OD＝3，
∴在△OCD中由勾股定理得 x2+45＝（8﹣x）2，
解得x＝4，
∴C（3，0）；
（3）∵点P为直线AB上的点，
∴设P（m，﹣m+6），
∵S△COP＝3×|﹣；
∴m＝6或m＝10，
∴P（6，）或（10，﹣）；
（4）DQ存在最小值．
理由如下：连接BD，则△ABD为等腰三角形，
由垂线段最短可知，DQ的最小值即为△ABD腰上的高，
∴DQ的最小值＝OB＝8．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．