2023-2024学年内蒙古乌兰察布市初中联盟校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古乌兰察布市初中联盟校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了下列各组线段能组成三角形的是等内容，欢迎下载使用。
1．十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cmB．4cm、6cm、10cm
C．3cm、3cm、6cmD．5cm、12cm、18cm
3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．AB＝BDC．BC＝ADD．∠ABC＝∠BAD
6．下列正多边形中，内角和为540°的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，点A在DE上，点F在AB上，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（ ）
A．DCB．BCC．ABD．AE+AC
10．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．等腰三角形的顶角为120°，则底角的度数为 ．
12．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 ．
13．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AE＝4，EC＝2 ．
15．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OA＜OC，∠AOB＝∠COD，连接OM．甲、乙、丙三人的说法如下，甲：AC＝BD （填“甲”或“乙”）．
16．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D ．
三、解答题.（本大题7个小题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣2），C（﹣1，3）1B1C1，并写出点A1、B1的坐标．
18．如图，M、N是∠AOB的边OA、OB上两点．用尺规作图，求作点P，且PM＝PN（不写作法，只保留作图痕迹）．
19．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA
（1）求∠EAC的度数；
（2）若AC⊥BE，求∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
21．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝3，AB＝5，当BC的长为多少时
24．点D在△ABC的边BA的延长线上，点F在边BC的延长线上，点E在平面内，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°．
（1）如图1，求证：AD+BC＝BE．
（2）如图2、图3，请分别写出线段AD，BC，不需要证明．
参考答案
一.选择题.（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里.每题3分，共30分）
1．十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cmB．4cm、6cm、10cm
C．3cm、3cm、6cmD．5cm、12cm、18cm
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
解：A、4+3＞4，符合题意；
B、4+6＝10，不符合题意；
C、3+3＝6，不符合题意；
D、3+12＜18，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，利用角平分线的性质得到PH＝PD＝3，然后根据垂线段最短可得到PE的最小值．
解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据等角对等边可得AC＝AB＝3．
解：在△ABC中，∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．AB＝BDC．BC＝ADD．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，也是公共边．
根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
还需补充一对直角边相等，
即BC＝AD或AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键．
6．下列正多边形中，内角和为540°的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°逐一进行计算，即可得出结论．
解：A、正方形的内角和为：4×90°＝360°；
B、正五边形的内角和为：（5﹣5）×180°＝3×180°＝540°；
C、正六边形的内角和为：（6﹣7）×180°＝4×180°＝720°；
D、正八边形的内角和为：（8﹣3）×180°＝6×180°＝1080°；
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和等于（n﹣2）•180°是解题的关键．
7．下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由三角形的内角和判定选项ABC中的三角形是否为等腰三角形，D选项由等腰三角形的定义判断．
解：A、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴A选项中的图形不是等腰三角形．故A选项符合题意；
B、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴B选项中的图形是等腰三角形．故B选项不符合题意；
C、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴C选项中的图形是等腰三角形．故C选项不符合题意；
D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和与等腰三角形的判定和定义．利用三角形的内角和为180°求出第三角是突破点．
8．如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，根据AE＝AC﹣CE，即可求解．
解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝30°，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．如图，点A在DE上，点F在AB上，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（ ）
A．DCB．BCC．ABD．AE+AC
【分析】先证△ABC≌△EDC，由全等的性质得到结论．
解：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠CFB，
∴∠D＝∠B，
∵∠6＝∠3，
∴∠1+∠ACD＝∠3+∠ACD，
∴∠ACB＝∠ECD，
∵AC＝CE，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝AB．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，找出对应角∠D＝∠B是解题关键．可以用“8”字型模型得到：即△ADF和△CFB组成的图形．
10．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．
解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，
∴MD＝ND＝3.5，
∴CM＝6﹣5.5＝4.3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．等腰三角形的顶角为120°，则底角的度数为 30° ．
【分析】由已知条件利用等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和定理求底角．
解：底角等于＝30°．
故填30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是正确解答本题的关键．
12．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
13．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
【分析】根据轴对称的性质可△ABC≌△A'B'C'，再根据∠A和∠C'的度数即可求出∠B的度数．
解：△ABC 与△A'B'C'关于直线 l ，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠C＝∠C'＝30°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AE＝4，EC＝2 6 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+5＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OA＜OC，∠AOB＝∠COD，连接OM．甲、乙、丙三人的说法如下，甲：AC＝BD 甲 （填“甲”或“乙”）．
【分析】设AC交OD于点T．证明△BOD≌△AOC（SAS），可得结论．
解：设AC交OD于点T．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDO＝∠ACO，
∵∠CTO＝∠DTM，
∴∠CMD＝∠COD，
故甲正确，乙错误．
故答案为：甲．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
16．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝4，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
三、解答题.（本大题7个小题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣2），C（﹣1，3）1B1C1，并写出点A1、B1的坐标．
【分析】根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C6即为所求.
A1（4，8），B1（2，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．如图，M、N是∠AOB的边OA、OB上两点．用尺规作图，求作点P，且PM＝PN（不写作法，只保留作图痕迹）．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质及角的平分线的性质作图．
解：如图：点P即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及角的平分线的性质是解题的关键．
19．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA
（1）求∠EAC的度数；
（2）若AC⊥BE，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由∠EAD＝∠EDA，结合∠EAD＝∠EAC+∠CAD，∠EDA＝∠B+∠BAD，可得出∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，由AD平分∠BAC，利用角平分线的定义，可得出∠CAD＝∠BAD，进而可得出∠EAC＝∠B＝54°；
（2）由AC⊥BE，可得出∠ACE＝90°，由∠ACE是△ABC的外角，再利用三角形的外角性质，可求出∠BAC的度数．
解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，∠EAD＝∠EAC+∠CAD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠EAC＝∠B＝54°；
（2）∵AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠B＝90°﹣54°＝36°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、垂线以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出∠EAC＝∠B；（2）牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解题的关键．
21．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠COE＝∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD＝15cm，DE＝OD﹣OE＝7cm．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝15cm，
∴DE＝OD﹣OE＝7cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
【分析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论；
（2）利用全等三角形性质可得答案．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
∵OC＝BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝15cm，
∴DE＝OD﹣OE＝7cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝3，AB＝5，当BC的长为多少时
【分析】（1）欲证CF＝AD，只要证明△AED≌△FEC，由此可以得到CF与AD的关系；
（2）要使点B在AF的垂直平分线上，则需满足AB＝BF，再结合BF＝BC+CF＝BC+AD，相信你能得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE．
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）解：当BC＝2时，点B在线段AF的垂直平分线上．
理由：∵BC＝2，AD＝2，
∴AB＝BC+AD．
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴点B在AF的垂直平分线上．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
24．点D在△ABC的边BA的延长线上，点F在边BC的延长线上，点E在平面内，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°．
（1）如图1，求证：AD+BC＝BE．
（2）如图2、图3，请分别写出线段AD，BC，不需要证明．
【分析】（1）由∠EAB+∠DCF＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°，得∠EAB＝∠DCB，而AE＝CD，∠E＝∠BDC，即可证明△EAB≌△DCB，得BE＝BD，BA＝BC，所以AD+BC＝AD+BA＝BD＝BE；
（2）图2，同理可证△EAB≌△DCB，得BE＝BD，BA＝BC，则BC﹣AD＝BA﹣AD＝BD＝BE；图3，同理可证△EAB≌△DCB，得BE＝BD，BA＝BC，则AD﹣BC＝AD﹣BA＝BD＝BE．
【解答】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠DCB，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，BA＝BC，
∴AD+BC＝AD+BA＝BD＝BE．
（2）图2，BC﹣AD＝BE，AD﹣BC＝BE，
理由：如图2，∵∠EAB+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠DCB，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，BA＝BC，
∴BC﹣AD＝BA﹣AD＝BD＝BE；
如图4，∵∠EAB+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠DCB，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，BA＝BC，
∴AD﹣BC＝AD﹣BA＝BD＝BE．
【点评】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△EAB≌△DCB是解题的关键．