2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了若关于x的不等式等内容，欢迎下载使用。
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，7
3．下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝1C．a＝0D．a＝﹣1
4．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．若关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a≠1D．a＜﹣1
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点（ ）
A．7B．9C．11D．14
9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点（ ）
A．12B．15C．16D．18
二.填空题（共6小题，每小题4分，共计24分）
11．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 ．
12．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 ．
13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是 ．
14．已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且 cm2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ s时，△BPC为直角三角形．
16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，DF＝b，连接AE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
三.解答题（共7小题，满分66分）
17．解不等式（组）：
（1）2x﹣3（x+1）≥1；
（2），并求出它的所有数解的和．
18．图1，图2，图3均是边长为1的正方形网格，点A，B均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图（保留痕迹，不要求写作法）．
（1）在图1中以线段AB为腰作一个等腰锐角三角形ABC；
（2）在图2中以线段AB为腰作一个等腰钝角三角形ABD；
（3）在图3中以线段AB为边作一个四边形ABEF，使其为轴对称图形．
19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD与BC交于点P
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．
20．如图，在△ABC中，点D在AB上，E为BD的中点，F为AC的中点，连接AM．
（1）求证：EF＝；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．
21．好笋知时节，当春乃发生．竹笋是中国传统佳肴，味香质脆，出产普通毛笋的地方也很多，但称得上精品毛笋——“黄泥拱”的只有在大雷．已知，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元．
（1）普通毛笋和精品毛笋每千克进价多少元？
（2）若李先生计划总共购买20千克毛笋，但总支出不超过180元，则李先生最多可以购买多少千克的精品毛笋？
22．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
23．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ （用x、y的式子表示）
W2＝ （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
解：由图形可知，选项B为轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，7
【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
解：A.1+2＝6，不能构成三角形；
B.1+1＝7，不能构成三角形；
C..1+2＞8，能构成三角形；
D.1+5＜3，不能构成三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝1C．a＝0D．a＝﹣1
【分析】所选取的a的值符合题设，则不满足结论即作为反例．
解：当a＝﹣1时，满足|a﹣1|＞3，所以a＝﹣1可作为证明命题“若|a﹣1|＞7．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
解：A、不等式组的解集为x≥2；
B、不等式组的解集为x＜1；
C、不等式组的解集为7＜x≤2；
D、不等式组的解集为1≤x＜6；
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
6．如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝30°，根据角的和差求出∠ABD＝75°，根据平行线的性质求解即可．
解：如图，
∵BC＝AC，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠BAC＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵∠2＝45°，
∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ABD＝75°，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解题的关键．
7．若关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a≠1D．a＜﹣1
【分析】由于在求不等式（1﹣a）x＞3解集的时候，不等号的方向发生了改变，可以判定1﹣a＜0，即可解得a的取值．
解：∵不等式（1﹣a）x＞3的解集为x＜，
∴1﹣a＜8，
解得a＞1．
故选：B．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知在不等式两边都除以一个负数时，不等号的方向改变是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点（ ）
A．7B．9C．11D．14
【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FBAF+FB的长．
解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，，
∴，
∵BC＝3，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+7＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点（ ）
A．12B．15C．16D．18
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP+PQ的最小值为FQ的长，根据解直角三角形即可得到结论．
解：如图，作点B关于CE的对称点F，EF，
∵∠B+∠C＝150°，
∴∠BEC＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
连接BP，PF，则BP＝FP，
∴BP+QP＝FP+PQ，
∴当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，
此时，Q为EB的中点，
∵DA⊥AB．DA＝6cm，
∴AE＝6cm，
∴Rt△QEF中，FQ＝，
∴BP+PQ最小值值为18，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共计24分）
11．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．
解：命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
故答案为如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 8或6 ．
【分析】由于长为6的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
解：当腰为6时，另一腰也为6，
∵7+6＝12＞8，
20﹣12＝5
∴三边能构成三角形．
底边的长为8，
当底为6时，腰为（20﹣4）÷2＝7，
∵2+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故答案为：3或6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是 80° ．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝4∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
14．已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且 4 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵F为CE中点，
∴，
∵E为AD中点，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ 25或16 s时，△BPC为直角三角形．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，
∴AB＝＝＝50（cm）．
如图，作AB边上的高CD．
∵S△ABC＝AB•CD＝，
∴CD＝＝＝24（cm）．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，
∴t＝50÷2＝25（秒）．
②当∠BPC为直角时，P与D重合，CP＝24cm，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（2t）3+242＝402，
解得t＝16．
综上，当t＝25或16秒时．
故答案为：25或16．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用以及分情况讨论．
16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，DF＝b，连接AE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ 3 ．
【分析】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（负值舍去）代入进行计算即可得到结论．
解：方法一：∵图中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴，
∴a2＝（b﹣a）b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴8＝（）2﹣，
∴，
解得＝（负值舍去），
∴；
方法二：∵a2＝b2﹣ab，
∴b4﹣a2＝ab，
∴（b2﹣a8）2＝a2b8，
∴b4+a4＝3a2b2，
∴＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
三.解答题（共7小题，满分66分）
17．解不等式（组）：
（1）2x﹣3（x+1）≥1；
（2），并求出它的所有数解的和．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
解：（1）2x﹣3（x+4）≥1，
去括号得：2x﹣7x﹣3≥1，
移项得：3x﹣3x≥1+5，
合并得：﹣x≥4，
解得：x≤﹣4；
（2），
由①得：x＜1，
由②得：x＞﹣7，
∴不等式组的解集为：﹣5＜x＜1，
所有数解的和：﹣7﹣3﹣2﹣8+0＝﹣10．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．图1，图2，图3均是边长为1的正方形网格，点A，B均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图（保留痕迹，不要求写作法）．
（1）在图1中以线段AB为腰作一个等腰锐角三角形ABC；
（2）在图2中以线段AB为腰作一个等腰钝角三角形ABD；
（3）在图3中以线段AB为边作一个四边形ABEF，使其为轴对称图形．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可；
（3）根据轴对称图形的定义画出图形即可．
解：（1）如图所示，等腰锐角三角形ABC即为所求；
（2）如图所示，等腰钝角三角形ABD即为所求；
（3）如图所示，四边形ABEF即为所求；
【点评】本题主要考查等腰三角形和轴对称图形的定义，熟练掌握等腰三角形和轴对称图形的定义是解题的关键．
19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD与BC交于点P
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE即可得到BC＝DE；
（2）先根据外角的性质求出∠BAP，进而求出∠CAE即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）解：在△APB：中，∠APC是外角，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20．如图，在△ABC中，点D在AB上，E为BD的中点，F为AC的中点，连接AM．
（1）求证：EF＝；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝；
（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，
∵CD＝CB，E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵F为AC的中点，
∴EF＝；
（2）证明：∵EF⊥AC，
∴∠AFM＝∠CFM，
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF，
∵MF＝MF，
∴△AFM≌△CFM（SAS），
∴AM＝CM，
∵CD＝DM+MC，
∴CD＝DM+AM，
∵BC＝DC，
∴AM+DM＝CB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．
21．好笋知时节，当春乃发生．竹笋是中国传统佳肴，味香质脆，出产普通毛笋的地方也很多，但称得上精品毛笋——“黄泥拱”的只有在大雷．已知，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元．
（1）普通毛笋和精品毛笋每千克进价多少元？
（2）若李先生计划总共购买20千克毛笋，但总支出不超过180元，则李先生最多可以购买多少千克的精品毛笋？
【分析】（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，根据“买10千克普通毛笋的钱等于买6千克精品毛笋的钱，买10千克精品毛笋比6千克普通毛笋贵64元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买（20﹣m）千克的普通毛笋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过180元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设普通毛笋的进价为x元/千克，精品毛笋的进价为y元/千克，
根据题意得：，
解得：．
答：普通毛笋的进价为6元/千克，精品毛笋的进价为10元/千克；
（2）设李先生可以购买m千克的精品毛笋，则购买（20﹣m）千克的普通毛笋，
根据题意得：10m+6（20﹣m）≤180，
解得：x≤15，
∴x的最大值为15．
答：李先生最多可以购买15千克的精品毛笋．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；
（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°，进而解答．
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）在△BPC中，
∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠ABC+，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）分7种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A+m°+18°；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∠BPC＝∠A﹣m°﹣18°；
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+18°或．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键．
23．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ 3x+7y （用x、y的式子表示）
W2＝ 2x+8y （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ （3+x） km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【分析】（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1﹣W2＝x﹣y，根据x和y的大小比较即可；
（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；
③求出＝6x﹣39，分别求出6x﹣39＞0，6x﹣39＝0，6x﹣39＜0，即可得出答案．
【解答】（1）解：①W1＝3x+2y，W2＝2x+3y，
故答案为：3x+7y，6x+8y．
      
②解：W1﹣W4＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W4﹣W2＞0，
得W5＞W2，
所以张丽同学用纸的总面积大． 
  
（2）①解：a1＝AB+AP＝x+6，
故答案为：x+3．
          
②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM＝4﹣2＝1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB5﹣12＝x6﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝＝，
故答案为：．
③解：＝（x+3）2﹣（）2＝x2+4x+9﹣（x2+48）＝4x﹣39，
当＞0（即a2﹣a2＞0，a8＞a2）时，6x﹣39＞8，
当＝0（即a3﹣a2＝0，a2＝a2）时，6x﹣39＝8，
当＜0（即a7﹣a2＜0，a5＜a2）时，6x﹣39＜5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，
当x＝4.5时，两种方案一样，
当0＜x＜5.5时，选择方案一．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．