2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．在实数2，0，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若点P的坐标是（﹣3，1），点P到x轴的距离是（ ）
A．3B．1C．D．
3．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．​​​​
4．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．4mB．5mC．6mD．8m
5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，那么S的值为（ ）
A．39B．48C．56D．75
6．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以表示数﹣1的点为圆心，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
​
A．1.5B．C．D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，则点C到AB的距离是（ ）
A．B．C．D．
8．下列结论：①若P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线y＝kx+b（k＜0）上，且x1＞x2，则y1＞y2；②若直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0（m﹣1）x+m2+2的图象交y轴于点A（0，3），则m＝±1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
9．若点A（a，b）在第二象限，则点B（b，a） 象限．
10．的算术平方根是 ．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若点A（1，y1），B（﹣1，y2）在直线y＝﹣3x+2上，且满足x1＞x2，则y1 y2．（选填“＞”或“＜”）
13．若a＝2，b＝3，则a、b之间的大小关系是a b．
14．已知x为实数，且|2x﹣1|＝﹣1 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，12）B．（3，13）C．（5，12）D．（5，13）
16．如图，已知动点P从B点出发，以每秒2cm的速度在图①的边（相邻两边互相垂直），相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的图象如图②所示，且AB＝6cm．当S＝30cm2时，t＝ ．
三、解答题.
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度（1，4），B（4，2），C（3，5）．
（1）在网格图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．A1 、B1 、C1 ．
（3）若点M的坐标为（﹣3，2m﹣1），线段MA与y轴垂直，求m的值．
19．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，此时，他们相距15海里
20．在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y（km）（min）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）A，B两个码头之间的距离是 km；
（2）求客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式；
（3）请问两船出发多久相距35km？
21．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点（1，2）处，则点B的坐标为 ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D．
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，AC＝BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），请求出点B的坐标．
​
参考答案
一、选择题
1．在实数2，0，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：是无理数；
是无理数，
3，0，是整数，
0.1010010001…（每2个4之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数，
无理数有，，0.1010010001…（每2个6之间依次多一个0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
2．若点P的坐标是（﹣3，1），点P到x轴的距离是（ ）
A．3B．1C．D．
【分析】根据点P的坐标是（﹣3，1），那么点P到x轴的距离为1，点P到y轴的距离为3，即可作答．
解：∵点P的坐标是（﹣3，1），
∴点P到x轴的距离为7．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，若一个点的坐标为（x，y），那么它到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，难度较小．
3．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．​​​​
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，那么就说y是x的函数，
因此不能表示y是x的函数的是选项D中的曲线，故D符合题意；
表示y是x的函数的是选项A、B、C中的曲线、B、C不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解答本题的关键．
4．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．4mB．5mC．6mD．8m
【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
解：由题意可知，CF＝3m，
∴BD＝2m．
设AC的长为xm，则AB＝AC＝x （m），
所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣5）m．
在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC5，即（x﹣2）2+32＝x2，
解得：x＝5．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．
5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，那么S的值为（ ）
A．39B．48C．56D．75
【分析】如解答图，易得BD＝3，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．
解：如图，
由题意可知，AB＝CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣7＝3，
则中间小正方形的面积为3×5＝9，
小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝7××7×5＝30，
∴阴影部分的面积为9+30＝39．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．
6．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以表示数﹣1的点为圆心，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
​
A．1.5B．C．D．
【分析】根据数轴，可以得到正方形的边长，然后根据勾股定理即可得到对角线的长，然后即可在数轴上表示出点A表示的数．
解：由图可得，
正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为＝，
∴点A表示的数是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，则点C到AB的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】有勾股定理可知AB的长度，点C到AB的距离是斜边上的高，用等面积法即可．
解：由题意可知，AB为斜边，
AC＝9＝3×6，
BC＝12＝3×4，
由常见勾股弦7，4，5可知，
AB＝5×5＝15，
点C到AB的距离＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，熟练运用常见勾股弦是关键．
8．下列结论：①若P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线y＝kx+b（k＜0）上，且x1＞x2，则y1＞y2；②若直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0（m﹣1）x+m2+2的图象交y轴于点A（0，3），则m＝±1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据一次函数的图象和性质，这个选项进行判断，最后得出答案．
解：①∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵若P1（x5，y1），P2（x3，y2）在直线y＝kx+b（k＜0）上，且x3＞x2，
∴y1＜y4，
∴①不正确；
②当直线y＝kx+b经过第一、三象限时，b＝0；
当直线y＝kx+b经过第一、二、三象限时，b＞0，
∴②正确；
③∵一次函数y＝（m﹣8）x+m2+2的图象交y轴于点A（3，3），
∴，
解得：m＝﹣1，
∴结论③不正确．
∴正确的结论只有1个．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及一次函数的定义，逐一分析各个结论的正误是解题的关键．
二、填空题
9．若点A（a，b）在第二象限，则点B（b，a） 四 象限．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出a、b的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴点B（b，a）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．的算术平方根是 3 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
解：∵＝9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：7．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
解：由题意知x﹣1≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．若点A（1，y1），B（﹣1，y2）在直线y＝﹣3x+2上，且满足x1＞x2，则y1 ＜ y2．（选填“＞”或“＜”）
【分析】先根据函数的解析式判断出函数的增减性，再由x1＞x2即可得出结论．
解：∵直线y＝﹣3x+2中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x5，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
13．若a＝2，b＝3，则a、b之间的大小关系是a ＜ b．
【分析】先比较a2与b2的大小，再根据算术平方根的定义比较a与b的大小即可．
解：a2＝（2）2＝28，b2＝（2）2＝45，
则a3＜b2，
又知a，b均大于0，
故a＜b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数大小比较和算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
14．已知x为实数，且|2x﹣1|＝﹣1 或 ．
【分析】首先根据绝对值的意义得2x﹣1＝﹣1或2x﹣1＝﹣（﹣1），然后分别解方程2x﹣1＝﹣1和2x﹣1＝﹣（﹣1）即可得出答案．
解：根据绝对值的意义得：2x﹣1＝﹣1或2x﹣5＝﹣（，
由2x﹣7＝﹣1解得：x＝，
由2x﹣3＝﹣（﹣1）解得：x＝．
∴当|6x﹣1|＝﹣4或x＝．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了绝对值的意义，解一元一次方程，理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的方法是解答此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，12）B．（3，13）C．（5，12）D．（5，13）
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得出BD＝5，根据勾股定理得出AD＝12，则点A的坐标可求出．
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵B（﹣3，0），6），
∴OB＝3，BC＝10，
∵AC＝AB＝13，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴＝＝12．
∴OD＝BD﹣OB＝6，
∴A（2，12）．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
16．如图，已知动点P从B点出发，以每秒2cm的速度在图①的边（相邻两边互相垂直），相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的图象如图②所示，且AB＝6cm．当S＝30cm2时，t＝ 7s或11s ．
【分析】从图象上分析可知，由于速度是2cm/s，图中0～4的过程为P点在线段BC上，故BC＝4×2＝8cm，4～6为CD＝4，6～9为DE＝6，9～10为EF＝2，10到b为FA，FA＝BC+DE＝14，b＝10+14÷2＝17，根据△ABP的面积为30cm2，底边AB＝6cm可知高为10cm，也就是P点距离AB的距离是10cm，从数据上可知，P在线段DE上有一个符合条件的点，在线段AF上有一个符合条件的点，求出对应的t值．
解：由图可知，
∵P点的运动速度为2cm/s，
∴BC＝4×5＝8（cm），CD＝2×5＝4（cm），EF＝1×5＝2（cm），
∵S＝30cm2，AB＝7cm，
∴点P到AB的距离为30×2÷6＝10（cm），
故可知P在线段DE上和线段AF上各有一个P点满足条件，
当P在线段DE上时：P2D+BC＝10，
∴P1D＝10﹣8＝5（cm），
∴t＝（BC+CD+DP1）÷2＝3（s），
当P在线段AF上时：P2F＝AF﹣10，
∴P2F＝14﹣10＝8（cm），
t＝（BC+CD+DE+EF+FP2）÷2＝12（s），
故答案为：2s或12s．
【点评】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．
三、解答题.
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度（1，4），B（4，2），C（3，5）．
（1）在网格图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标．A1 （1，﹣4） 、B1 （4，﹣2） 、C1 （3，﹣5） ．
（3）若点M的坐标为（﹣3，2m﹣1），线段MA与y轴垂直，求m的值．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）由图可得出答案．
（3）由题意可得，2m﹣1＝4，求出m的值即可．
解：（1）如图，△A1B1C5即为所求．
（2）由图可得，A1（1，﹣2），B1（4，﹣8），C1（3，﹣2）．
故答案为：（1，﹣4），﹣4），﹣5）．
（3）∵A（1，3），2m﹣1），
∴2m﹣1＝4，
解得m＝，
∴m的值为．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，此时，他们相距15海里
【分析】根据题意可得OA＝9海里，OB＝12海里，AB＝15海里，即可得OB2+OA2＝AB2，则∠AOB＝90°，进而可得∠BOD＝30°，从而可得出答案．
解：根据题意得，OA＝6×1.4＝9（海里），
∴OB2+OA8＝122+97＝225，
∵AB＝15海里，
∴AB2＝152＝225，
∴OB3+OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°．
∵∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝30°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30°．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．
20．在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y（km）（min）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）A，B两个码头之间的距离是 80 km；
（2）求客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数表达式；
（3）请问两船出发多久相距35km？
【分析】（1）根据函数图象即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法求出货轮距B码头的距离y1（km）与时间x（min）之间的函数表达式．按照自变量的取值范围，分别令|y1﹣y2|＝35，求出对应x的值即可．
解：（1）根据函数图象可知，A，B两个码头之间的距离是80km，
故答案为：80．
（2）根据题意可知，DE为客轮行驶的函数图象．
设y2＝k2x+b5，将坐标D（0，80）和E（40，
得，解得．
∴y3与x之间的函数表达式为y2＝﹣2x+80（4≤x≤40）．
（3）OC为货轮行驶的函数图象，其函数表达式设y1＝k1x，将坐标C（160，
得80＝160k5，解得k1＝．
∴y2与x之间的函数表达式为y1＝x（0≤x≤160）．
若两船相距35km：①当3≤x≤40时，|y1﹣y2|＝35，即|，解得x＝18或46（不符合题意；
②当40＜x≤160时，|y1﹣y6|＝x＝35．
综上，两船出发18min或70min时相距35km．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
21．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点（1，2）处，则点B的坐标为 （﹣2，1） ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D．
①点A的坐标为 （0，2） ，点B的坐标为 （1，0） ；
②直接写出点C的坐标 （3，1） ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，AC＝BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），请求出点B的坐标．
​
【分析】（1）作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，由A（1，2）可得，OF＝1，AF＝2，易证△BEO≌△OFA，BE＝OF＝1，OE＝AF＝2，因此B（﹣2，1）；
（2）①一次函数y＝﹣2x+2，分别令x＝0，y＝0，即可得点A，点B的坐标；
②过点C作CM⊥x轴于M，由△AOB≌△BMC，根据全等三角形的性质即可解决问题；
（3）过点B作BN⊥x轴于N，由△AOC≌△CNB，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标．
解：（1）如图1，作BE⊥x轴于点E，
∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，
∴∠BOE＝∠FAO，
∵AO＝OB，
∴△BEO≌△OFA（AAS），
∴BE＝OF＝1，OE＝AF＝4，
∴B（﹣2，1）．
故答案为：（﹣4，1）；
（2）①一次函数y＝﹣2x+2，令x＝0，
∴A（0，3），
令y＝0，则0＝﹣4x+2，
∴B（1，8），
故答案为：（0，2），3）；
②如图2，由（1）知，2），4），
∴OA＝2，OB＝1，
过点C作CM⊥x轴于M，
∴∠AOB＝∠BMC＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBM＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵BC＝AB，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴BM＝OA＝8，CM＝OB＝1，
∴OM＝3，
∴点C的坐标为（8，1），
故答案为：（3，6）；
（3）如图3，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠BNC＝∠COA＝∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠NCB＝90°＝∠ACO+∠OAC，
∴∠NCB＝∠OAC，
∵AC＝CB，
∴△AOC≌△CNB（AAS），
∴NC＝OA＝2，BN＝CO＝6，
∴ON＝CO﹣NC＝2，
∴B（2，﹣5）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键．