24.3 锐角三角函数 华东师大版数学九年级上册素养提升卷(含解析)

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第24章　解直角三角形24.3　锐角三角函数基础过关全练知识点1　锐角三角函数的概念1.【教材变式·P111习题T1】(2023吉林长春二道期末)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,则cos B的值为(　　) A.24　 B.3 C.13　D.2232.【主题教育·中华优秀传统文化】【新独家原创】在商周时期就有了用来攀登城墙的设备——云梯,后来被鲁国人鲁班改进. 如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为∠A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是 (　　) A.sin A的值越大,梯子越陡B.cos A的值越大,梯子越陡C.tan A的值越小,梯子越陡D.倾斜程度与∠A的函数值无关3.(2023福建漳州外国语学校期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列选项中不等于sin A的是 (　　) A.CDAC　 B.CBAB C.BDCB 　D.CDCB4.【新考法】(2023四川眉山仁寿月考)如图,P是∠α的边OA上一点,且点P的横坐标为3,sin α=45,则tan α=(　　) A.35　 B.34 C.43 　D.455.(2023河南南阳十三中期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果sin A∶sin B=2∶3,那么a∶b等于　　　. 6.【一题多解】(2023四川成都实验外国语学校西区月考)如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是　　　. 7.(2023河南南阳西峡月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,求sin A,cos A,tan A的值.知识点2　特殊角的三角函数值8.(2023海南海口中学期末)β为锐角,且2cos β-1=0,则β=(　　) A.30°　 B.60°　 C.45°　 D.37.5°9.(2023湖南衡阳船山实验中学月考)下列运算中,值为14的是(　　) A.sin 45°×cos 45°　 B.tan 45°-cos230° C.tan30°cos60°　 D.(tan 60°)-110.(2023河南鹤壁浚县期末)在△ABC中,若sin A-32+12-cosB2=0,∠A,∠B都是锐角,则△ABC是　　　　三角形. 11.计算下列各式的值:(1)(2023山西晋城陵川月考)12sin 30°+22cos 45°-2tan 30°·tan 60°;(2)(2023陕西延安新区三中期末)2sin260°·tan 30°+cos230°-tan 45°.12.【易错题】(2023吉林长春绿园月考)若sin(α+15°)=32(α是锐角).(1)求出α的值;(2)计算:8-4cos α-(π-3.14)0+tan α+13-1.知识点3　计算器在锐角三角函数中的应用13.(2021山东威海中考)若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18',按键顺序正确的是(　　) A.sin3 6·18=B.sin3 6DMS18= C.2ndFsin 36DMS18= D.sin3 6DMS18DMS=14.(2023福建泉州南安月考)已知tan A=0.85,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确的是(　　) A.2ndFtan 0·85= B.2ndF 0·85tan= C.tan 2ndF0·85= D.tan 0·852ndF=15.【新独家原创】如图,台风来临后,一根长为5.5米的竖直木杆在离地面2.1米处折断,木杆顶端A落在地面上,则AB与地面所成的锐角约为　　　°.(结果保留整数) 能力提升全练16.(2022天津中考,2,★☆☆)tan 45°的值等于(　　) A.2　 B.1　 C.22 　D.3317.(2022湖北荆州中考,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连结AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是(　　) A.33 　B.22　 C.13　 D.318.(2023吉林长春农安期末,17,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α=sin B;②sin β=sin C;③sin B=cos C;④sin α=cos β.其中正确的结论为　　　　　.(填序号) 19.【数学文化】(2022河南南阳模拟,18,★★☆)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,其中直角三角形中较大的锐角度数为α.若小正方形与大正方形的面积比是1∶9,则|sin α-cos α|=　　　. 20.计算下列各式的值:(1)(2023陕西西安碑林铁一中期末,21,★☆☆)sin45°+cos30°3-2cos60°-sin 30°×(cos 45°-sin 60°);(2)(2022山西临汾侯马模拟,19,★☆☆)1-2tan60°+tan260°-4cos60°tan60°-tan45°.21.【代数推理】(2023吉林长春东北师大附中净月实验学校期末,22,★☆☆)在△ABC中,∠B、∠C 均为锐角,其对边分别为b、c,求证:bsinB=csinC.22.【易错题】【新考法】(2023四川乐山夹江期末,21,★★☆)如图,直线y=12x+32与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点B的坐标;(2)求sin∠BAO的值.素养探究全练23.【推理能力】【代数推理】如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=-1x,y=3x的图象交于B,A两点,求证:∠OAB的大小不变.答案全解全析基础过关全练1.C　在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=3BC,∴cos B=BCAB=BC3BC=13.2.A　根据锐角三角函数值的变化规律可知,sin A的值越大,梯子越陡.3.D　∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,sin A=CDAC=CBAB,∴∠BAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴sin A=sin∠DCB=DBCB.故选D.4.C　本题在直角坐标系中求锐角的三角函数值. 如图,由sin α=PQOP=45可设PQ=4a,OP=5a(a>0),∵OQ=3,∴由OQ2+PQ2=OP2可得32+(4a)2=(5a)2,解得a=1(负值舍去),∴PQ=4,OP=5,∴tan α=PQOQ=43.5.2∶3解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∴sin A=ac,sin B=bc,∵sin A∶sin B=2∶3,∴ac∶bc=2∶3,∴a∶b=2∶3.6.1010解析　解法1:(构造直角三角形求解)如图,过A作BO的垂线,交OB的延长线于点C,则∠ACO=90°,AC=12+12=2,AO=22+42=25,∴在Rt△AOC中,sin∠AOB=ACAO=225=1010.解法2:(等面积法求解)如图,过B作BC⊥OA于C,过O作OE⊥AB,交AB的延长线于点E,则AO=22+42=25,OB=22+22=22,∵S△ABO=12·AB·OE=12·OA·BC,∴2×2=25·BC,∴BC=255,∴sin∠AOB=BCOB=25522=1010.7.解析　∵∠C=90°,AC=4,BC=2,∴AB=BC2+AC2=22+42=25,tan A=BCAC=24=12,∴sin A=BCAB=225=55,cos A=ACAB=425=255.8.B　∵2cos β-1=0,∴cos β=12,∵β为锐角,∴β=60°.9.B　sin 45°×cos 45°=22×22=12,故选项A不符合题意;tan 45°-cos230°=1-322=1-34=14,故选项B符合题意;tan30°cos60°=3312=233,故选项C不符合题意;(tan 60°)-1=(3)-1=33,故选项D不符合题意.10.等边解析　∵sin A-32+12-cosB2=0,∴sin A=32,cos B=12,∵∠A,∠B都是锐角,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.11.解析　(1)原式=12×12+22×22-2×33×3=14+12-2=-54.(2)原式=2×322×33+322-1=32+34-1=32-14.12.解析　本题易由sin(α+15°)=32,误认为α=60°,从而出现错误.(1) ∵sin(α+15°)=32(α是锐角),∴α+15°=60°,∴α=45°.(2)8-4cos α-(π-3.14)0+tan α+13-1=8-4cos 45°-(π-3.14)0+tan 45°+13-1=22-4×22-1+1+3=3.13.D　先按键“sin ”,再输入角的度数,按键“=”即可得到结果.14.A15.38解析　由题意知BC=2.1米,AB=5.5-2.1=3.4米. 在Rt△ABC中,sin A=BCAB=2.13.4≈0.62,利用计算器求得∠A≈38°.能力提升全练16.B　tan 45°的值等于1.17.C　如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,∵OP∥AB,∴∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,∴△OCP∽△BCA,∴CP∶AC=OC∶BC=1∶2,∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ,∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2,∵P(1,1),∴PQ=OQ=1,∴AO=2,∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13.18.①②③④解析　∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠α+∠β=90°,∠B+∠β=90°,∠B+∠C=90°,∴∠α=∠B,∠β=∠C,∴sin α=sin B,sin β=sin C,故①②正确;∵在Rt△ABC中,sin B=ACBC,cos C=ACBC,∴sin B=cos C,故③正确;∵sin α=sin B,cos β=sin B,∴sin α=cos β,故④正确.19.13解析　如图,∵小正方形与大正方形的面积比是1∶9,∴小正方形与大正方形的边长比是1∶3,设小正方形的边长为a,则大正方形的边长为3a,∴AB=3a,CD=a,在Rt△ABC中,sin α=ACAB,cos α=BCAB,∴|sin α-cos α|=ACAB-BCAB=AC-BCAB=AC-ADAB=CDAB=a3a=13.20.解析　(1)原式=22+323-2×12-12×22-32=2+34-2-34=234=32.(2)原式=tan 60°-1-4×123-1=3-1-3-1=-2.21.证明　如图,过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sin B=ADAB,∴AD=AB·sin B,在Rt△ADC中,sin C=ADAC,∴AD=AC·sin C,∴AB·sin B=AC·sin C,∵AB=c,AC=b,∴csin B=bsin C,∴bsinB=csinC.22.解析　本题综合考查锐角三角函数值与一次函数,容易忽略直角三角形的条件,从而出现sin∠BAO=BOAB的错误.(1)解方程组y=12x+32,y=2x,得x=1,y=2,∴B点的坐标为(1,2).(2)如图,过点B作BC⊥x轴于C,在y=12x+32中,当y=0时,12x+32=0,解得x=-3,则A(-3,0),∴OA=3,∵OC=1,BC=2,∴AB=AC2+BC2=25,∴sin∠BAC=BCAB=225=55,即sin∠BAO=55.素养探究全练23.证明　如图,分别过点A,B作AN⊥x轴于点N,BM⊥x轴于点M,∵∠AOB=90°,∴∠BOM+∠AON=90°,∵∠AON+∠OAN=90°,∴∠BOM=∠OAN,∵∠BMO=∠ANO=90°,∴△BOM∽△OAN,∴BMON=OMAN.设B-m,1m,An,3n,则BM=1m,AN=3n,OM=m,ON=n,∴1mn=m3n,即mn=3mn,∴mn=3,∵∠AOB=90°,∴tan∠OAB=OBOA①. ∵△BOM∽△OAN,∴OBOA=BMON=1mn=33②,由①②知tan∠OAB=33为定值,∴∠OAB的大小不变.