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初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形教案
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这是一份初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形教案，共4页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
【知识与技能】
会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.
【情感态度】
进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
理解坡度的有关术语.
※教学过程※
一、复习引入
前面我们研究了与仰角、俯角、方位角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题.
二、探索新知
1.几个概念.
（1）铅垂高度h;
（2）水平长度l;
（3）坡度（坡比）i:
坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i=;
(4)坡角α:坡面与水平面的夹角α,i==tanα.显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
2.应用.
【例1】在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）.
分析：题目中出现的术语——株距、倾斜角，需重点说明.引导学生将实际问题转化为数学问题，画出图形.
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB.
解：在Rt△ABC中，csA=,∴AB=≈6.0(米).
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
【例2】如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.
由题意可知：DE=CF=4.2米，
EF=CD=12.51米.
在Rt△ADE中,∵=tan32°,
∴AE=≈6.72米.
在Rt△BCF中，同理可得
BF=≈7.90米.
∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米).
答：路基下底的宽约为27.1米.
三、巩固练习
1.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；
（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.
2.设建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图所示，设路基高为h,两侧的坡角分别α和β，已知h=2米，α=45°,tanβ=,CD=10米.
（1）求路基底部AB的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少方土？
答案：1.如图所示，过点B、C分别作BE⊥AD、CF⊥AD，交AD于点E、F.
（1）由i1=1∶3,得tanA=,所以∠A≈18.43°.AB=≈74.3(米).AE==70.5(米).由i2=1∶2.5,得tanD=,所以∠D≈21.8°.FD==58.75(米).所以AD=AE+EF+FD=70.5+6.2+58.75≈135.5(米).
综上，斜坡AB长约为74.3米，坝底AD长约为135.5米.
（2）因为tanα=i2=,所以∠α≈22°,即斜坡CD的坡角α约为22°.
2.（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F.
在Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2米,
∴AE=DE=h=2米.在Rt△BCF中，tanβ=,
CF=h=2米,
∴BF=2CF=4米.故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(米).
（2）S梯形ABCD=(AB+CD)·h=×(10+16)×2=26（平方米）.因此所需的土石方数是26×1000=26000(立方米).
四、归纳小结
1.在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的是什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
※课后作业※
教材第117页习题24.4第2题.
【知识与技能】
会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.
【情感态度】
进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
理解坡度的有关术语.
※教学过程※
一、复习引入
前面我们研究了与仰角、俯角、方位角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题.
二、探索新知
1.几个概念.
（1）铅垂高度h;
（2）水平长度l;
（3）坡度（坡比）i:
坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i=;
(4)坡角α:坡面与水平面的夹角α,i==tanα.显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
2.应用.
【例1】在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）.
分析：题目中出现的术语——株距、倾斜角，需重点说明.引导学生将实际问题转化为数学问题，画出图形.
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB.
解：在Rt△ABC中，csA=,∴AB=≈6.0(米).
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
【例2】如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.
由题意可知：DE=CF=4.2米，
EF=CD=12.51米.
在Rt△ADE中,∵=tan32°,
∴AE=≈6.72米.
在Rt△BCF中，同理可得
BF=≈7.90米.
∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米).
答：路基下底的宽约为27.1米.
三、巩固练习
1.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；
（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.
2.设建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图所示，设路基高为h,两侧的坡角分别α和β，已知h=2米，α=45°,tanβ=,CD=10米.
（1）求路基底部AB的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少方土？
答案：1.如图所示，过点B、C分别作BE⊥AD、CF⊥AD，交AD于点E、F.
（1）由i1=1∶3,得tanA=,所以∠A≈18.43°.AB=≈74.3(米).AE==70.5(米).由i2=1∶2.5,得tanD=,所以∠D≈21.8°.FD==58.75(米).所以AD=AE+EF+FD=70.5+6.2+58.75≈135.5(米).
综上，斜坡AB长约为74.3米，坝底AD长约为135.5米.
（2）因为tanα=i2=,所以∠α≈22°,即斜坡CD的坡角α约为22°.
2.（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F.
在Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2米,
∴AE=DE=h=2米.在Rt△BCF中，tanβ=,
CF=h=2米,
∴BF=2CF=4米.故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(米).
（2）S梯形ABCD=(AB+CD)·h=×(10+16)×2=26（平方米）.因此所需的土石方数是26×1000=26000(立方米).
四、归纳小结
1.在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的是什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
※课后作业※
教材第117页习题24.4第2题.
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