广东省东莞市松山湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市松山湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程式一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+3＝0B．3x2﹣2＝0C．D．5x+3＝0
2．（3分）下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．拔苗助长B．水中捞月C．一箭双雕D．水涨船高
3．（3分）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ ）
A．0B．2C．4D．6
4．（3分）已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（3分）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25.5万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为15.98万元，求每次下调的百分率，设百分率为x，则可列方程为（ ）
A．15.98（1+x）2＝25.5B．15.98（1+x2）＝25.5
C．25.5（1﹣x）2＝15.98D．25.5（1﹣x2）＝15.98
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（0，3）D．（0，﹣3）
7．（3分）将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+5
8．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2上的点，且x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜2B．y2＞y1＞2C．y1＞y2＞2D．y2＜y1＜2
9．（3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
12．（3分）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值等于 ．
13．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
14．（3分）已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形周长为 ．
15．（3分）抛物线y＝x2﹣10x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是 ．
三、计算题（本大题共2小题，共8.0分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x＝1．
18．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
四、解答题（一）（本大题共3小题，共20.0分）
19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5．
（1）求它与x轴的交点坐标；
（2）求它的顶点坐标．
20．（6分）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
21．（8分）综合与实践：制作无盖盒子如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图中的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
五、解答题（二）（本大题共2小题，共20.0分）
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
23．（10分）如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
六、解答题（三）（本大题共2小题，共24.0分）
24．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设运动开始后第T秒时，五边形PQCDA的面积为Scm2，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围；
（3）T为何值时S最小？求出S的最小值．
25．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）下列方程式一元二次方程的是（ ）
A．x2+y+3＝0B．3x2﹣2＝0C．D．5x+3＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程属于一元二次方程，故本选项符合题意．
C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程属于一元一次二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．（3分）下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．拔苗助长B．水中捞月C．一箭双雕D．水涨船高
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、拔苗助长，是不可能事件；
B、水中捞月，是不可能事件；
C、一箭双雕，是随机事件；
D、水涨船高，是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣2＝0，
移项得：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，
则n＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（3分）已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】将x＝1代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，
解得：c＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确求解c的值是解决本题的关键．
5．（3分）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25.5万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为15.98万元，求每次下调的百分率，设百分率为x，则可列方程为（ ）
A．15.98（1+x）2＝25.5B．15.98（1+x2）＝25.5
C．25.5（1﹣x）2＝15.98D．25.5（1﹣x2）＝15.98
【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用原价×（1﹣每次下调的百分率）2＝实际售价列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
25.5（1﹣x）2＝15.98．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价×（1﹣每次下调的百分率）2＝实际售价．
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（0，3）D．（0，﹣3）
【分析】根据二次函数的顶点式解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），
故选：A．
【点评】此题考查二次函数的性质，关键是根据二次函数的顶点式解答．
7．（3分）将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+5
【分析】首先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∵先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴新的抛物线顶点坐标为（2，5），
∴新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2+5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2上的点，且x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜2B．y2＞y1＞2C．y1＞y2＞2D．y2＜y1＜2
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数性质判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），
∵a＝﹣2＜0，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2上的点，且x1＜x2＜1，
∴y1＜y2＜2．
故选：A．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
9．（3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒
【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．
【解答】解：由题意可知：h（2）＝h（6），
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x＝﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c＝0，且a、b、c是常数，a≠0解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
12．（3分）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值等于 ﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝1，再把2m2﹣6m﹣5表示为2（m2﹣3m）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m﹣5＝2（m2﹣3m）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
【分析】使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
14．（3分）已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形周长为 17 ．
【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣5）（x﹣3）＝0，
x﹣5＝0，x﹣3＝0，
x1＝5，x2＝3，
即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+7＝17；
②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，
故答案为：17．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形的三边长．
15．（3分）抛物线y＝x2﹣10x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 25 ．
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数解，则根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣10x+m与x轴只有一个公共点，
∴x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4m＝0，
解得m＝25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了二次函数与图象的交点问题，正确理解二次函数图象与坐标轴的交点横坐标即为一元二次方程的两个根是解题的关键．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是 ﹣4≤y＜0 ．
【分析】利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），再利用待定系数法确定抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，接着根据二次函数的性质得到x＝1时，y有最小值﹣4，从而得到当﹣1＜x＜2时对应的y的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线的解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a•1•（﹣3），解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴x＝1时，y有最小值﹣4，
∵x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴当﹣1＜x＜2，y的取值范围是﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三、计算题（本大题共2小题，共8.0分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x＝1．
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：配方得x2﹣4x+4＝1+4，
即（x﹣2）2＝5，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵3x（x﹣1）＝2x﹣2，
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
四、解答题（一）（本大题共3小题，共20.0分）
19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5．
（1）求它与x轴的交点坐标；
（2）求它的顶点坐标．
【分析】（1）在解析式中令y＝0即可求得与x轴的交点的横坐标；
（2）利用抛物线的顶点公式或配方法即可求出顶点坐标．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣6x+5中，令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
则抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（5，0）；
（2）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握抛物线与x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的两个根是解题的关键．
20．（6分）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可；
（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：
其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，
∴P（甲）＜P（乙），
则该游戏对甲乙双方不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．（8分）综合与实践：制作无盖盒子如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图中的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
【分析】（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可．
【解答】解：任务一：（1）如图所示：
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：4（x﹣2×4）（2x﹣2×4）＝616，
解得：x1＝15，x2＝﹣3（舍去），
∴2x＝2×15＝30，
答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，一元二次方程的应用，长方体的平面图，正确的画出图形是解题的关键．
五、解答题（二）（本大题共2小题，共20.0分）
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣6、x1x2＝2m+1，由2x1x2﹣x1﹣x2≥8结合（1）结论可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，
∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，
∴2（2m+1）+6≥8，
解得m≥0，
由（1）可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2x1x2﹣x1﹣x2≥8及m≤4，求出m的取值范围．
23．（10分）如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
六、解答题（三）（本大题共2小题，共24.0分）
24．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设运动开始后第T秒时，五边形PQCDA的面积为Scm2，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围；
（3）T为何值时S最小？求出S的最小值．
【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；
（2）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S＝S矩形ABCD﹣S△PBQ求面积即可；
（3）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．
【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．
则AP＝x，QB＝2x．
∴PB＝6﹣x．
∴×（6﹣x）2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．
（2）第T秒钟时，AP＝tcm，故PB＝（6﹣T）cm，BQ＝2Tcm，
故S△PBQ＝•（6﹣T）•2T＝﹣T2+6T，
∵S矩形ABCD＝6×12＝72．
∴S＝72﹣S△PBQ＝T2﹣6T+72（0＜t＜6）；
（3）∵S＝T2﹣6T+72＝（T﹣3）2+63，
∴当T＝3秒时，S有最小值63cm2．
【点评】本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用．关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值
25．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入y＝ax2+bx+3即可；
（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3），用含a的代数式表示出EF，BF，OF的长，由公式，根据二次函数的图象和性质可求出四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，连接AC，①当点C为顶点，CA＝CB时，此时CO为底边的垂直平分线，满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，即可写出点D1坐标；②当点A为顶点，AB＝AC时，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点；③当AC为底边时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，通过证三角形相似，利用相似三角形的性质可求出点D4的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，，
解得，，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴
＝
＝
＝，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为；
当时，，
此时，点E坐标为；
（3）如图2，连接AC，
①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，
满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，
点D1坐标为（﹣1，0）；
②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，
∵OA＝1，OC＝3，
由勾股定理得，AC＝＝，
以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，
此时它们的坐标分别为，；
③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，
设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，
∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，
∴∠ACO＝∠OD4P，
∴△D4AQ∽△CAO，
∴＝，
即＝，
∴D4A＝5，
∴OD4＝D4A﹣OA＝4，
∴点D4的坐标为（﹣4，0）；
综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（﹣1，0）或或或D4（﹣4，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，等腰三角形的存在性，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在求等腰三角形的存在性中的运用．

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）