广东省深圳市南山区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了下列几何体中，左视图是圆的是，人类的性别是由一对性染色体，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
2．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0
4．如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标是（ ）
A．（4，4）B．（5，4）C．（2，4）D．（4，2）
5．若＝＝＝且b﹣3d+2f≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量灯塔的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与灯塔的水平距离CD为114m，则灯塔的高度AB是（ ）
A．74.2mB．77.8mC．79.6mD．79.8m
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
8．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8B．7C．8或7D．9或8
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C．如果2a＝3b，则
D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③B．②③C．②③④D．②④
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若＝，则＝ ．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为 ．
13．如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若∠BEC＝45°且AE＝4，ED＝2，则AB的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2 +2x﹣1＝0；（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
17．（6分）为全面增强中学生的体质健康，七中育才学校开展“阳光体育活动”，开设了足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种），根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生排球比赛，请用列表法或树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O″A″B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
19．（8分）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．
（1）下列条件：
①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．
请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长．
20．（8分）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？
21．（9分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 三角形．②若AD＝4，则BD＝ ；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．
22．（10分）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，E是AD边上一点，作OF⊥OE交AB于点F．学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与△BOF恒全等．请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线交于点O，∠ABD＝30°，E是BA延长线上一点，将OE绕点O逆时针旋转60°得到OF，点F恰好落在DA的延长线上，求的值；
【拓展提升】如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，点E是BC边上一点，以BE为边在BC的上方作等边△BEF，连接CF，取CF的中点M，连接AM，当AM＝时，直接写出BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
C、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，不符合题意；
故选：A．
2．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为＝，
故选：C．
3．如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
4．如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标是（ ）
A．（4，4）B．（5，4）C．（2，4）D．（4，2）
【解答】解：连接AC，BD，交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC，BE＝DE，
∵A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），
∴E（4，2），
∴B（4，4）．
故选：A．
5．若＝＝＝且b﹣3d+2f≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴b＝3a，d＝3c，f＝3e．
∴＝．
故选：D．
6．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量灯塔的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与灯塔的水平距离CD为114m，则灯塔的高度AB是（ ）
A．74.2mB．77.8mC．79.6mD．79.8m
【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），
即步云阁77.8m，
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴∠AB′E＝30°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
8．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8B．7C．8或7D．9或8
【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n＝7，
此时三角形的边长为2，4，4，舍去；
故选：B．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C．如果2a＝3b，则
D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似
【解答】解：A、四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
C、如果2a＝3b，则＝，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
D、有一个角为120°的等腰三角形底角为30°，所以有一个角为120°的两个等腰三角形一定相似，故本选项中的命题是真命题，符合题意；
故选：D．
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③B．②③C．②③④D．②④
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴＝，
∴PC2＝PM•PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．若＝，则＝ ．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故答案为：．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为 4 ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
13．如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （10﹣10） 米．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案为：（10﹣10）．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x⊗（﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x⊗（﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若∠BEC＝45°且AE＝4，ED＝2，则AB的长为 ．
【解答】解法一：如图，分别以AB，CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG，
依题意得∠F＝∠G＝∠BEC＝45°，
∴∠FBE+∠BEF＝∠CEG+∠BEF＝135°，
∴∠FBE＝∠CEG，
∴△BEF∽△ECG，
∴＝，
即＝，
解得AB＝或（舍去），
∴AB的长为，
故答案为：．
解法二：如图，过C作CF⊥BE于F，过F作FG⊥BC于G，交AD于H，则∠CFE＝90°，∠ECF＝∠CEF＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF，
又∵∠EFH+∠CFG＝∠FCG+∠CFG＝90°，
∴∠EFH＝∠FCG，
∴△EFH∽△FCG，
∴＝＝＝1，
设EH＝x，则FG＝x，BG＝AH＝4﹣x，HF＝GC＝DH＝x+2，
∵Rt△BCF中，FG⊥BC于G，
∴FG2＝BG×CG，
∴x2＝（4﹣x）×（x+2），
解得x＝或x＝（舍去），
∴AB＝HG＝HF+FG＝x+2+x＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）x2 +2x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
【解答】解：（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
整理得，x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0，x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1．
17．为全面增强中学生的体质健康，七中育才学校开展“阳光体育活动”，开设了足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种），根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 18° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生排球比赛，请用列表法或树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
故答案为：100．
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是360°×＝18°．
故答案为：18°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O″A″B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 （，），（2，7） ．
【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，A′（4，4），O′（1，5），
∴M的对应点M′的坐标为（，），M″（2，7）．
故答案为：（，），（2，7）．
19．如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．
（1）下列条件：
①D是BC边的中点；
②AD是△ABC的角平分线；
③点E与点F关于直线AD对称．
请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长．
【解答】解：（1）选择条件②：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形；
选择条件③：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵点E与点F关于直线AD对称，
∴DE＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵四边形AFDE是菱形，AE＝4，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∴AC＝AF+CF＝6，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
即＝，
∴BE＝8．
20．“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？
【解答】解：（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，
依题意得：，解得，
答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；
（2）设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，
∵经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，
∴平均每天可售出个，
依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，
∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36，
答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元．
21．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 等腰 三角形．②若AD＝4，则BD＝ 8 ；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边，
∴BG＝DG＝AD＝BC，
∴△ADG与△BCG是等腰三角形；
②∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
故答案为：等腰；8；
（2）存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形．理由如下：
当BC＝2AB时，四边形ABEC是和谐四边形，
∵BC＝AD＝4，AB＝k，
∴BC＝2k，
∴k＝2；
当BC＝2AC时，不满足直角三角形的斜边大于直角边．
当AE＝2AC时，，无解．
当AE＝2AB时，，无解．
∴k的值为2时，四边形ABEC是和谐四边形；
（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，
∴AD＝DG，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠ACF，
∴∠DAG＝∠AGD＝∠ACF＝∠AFC，
∴∠ADG＝∠CAF，
∵，，
∴，
∴△ADB～△ACE，
∵AB＝CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC＝AD，
作DM⊥AC于M，如图3所示：
∵AD＝DG，
∴AM＝GM，
设AM＝x，则AG＝2x，
∴AC＝2AG＝AD＝4x，
∴CM＝3x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：
，
∵CD＝AB＝4，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22．【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，E是AD边上一点，作OF⊥OE交AB于点F．学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与△BOF恒全等．请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线交于点O，∠ABD＝30°，E是BA延长线上一点，将OE绕点O逆时针旋转60°得到OF，点F恰好落在DA的延长线上，求的值；
【拓展提升】如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，点E是BC边上一点，以BE为边在BC的上方作等边△BEF，连接CF，取CF的中点M，连接AM，当AM＝时，直接写出BE的长．
【解答】【探究发现】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠EAO＝∠FBO＝45°，∠AOB＝90°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°＝∠AOB，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
【类比迁移】
解：连接DE，连接EF，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA＝OB，
∵∠ABD＝30°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠AOD＝∠OAB+∠ABD＝60°，
∵将OE绕点O逆时针旋转60°得到OF，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°＝∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOF，
∴△AOF≌△DOE（SAS），
∴AF＝DE，∠AFO＝∠DEO，
∵∠EAF＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AEO+∠AFO＝180°﹣（∠AEF+∠AFE）﹣∠EOF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠AEO+∠DEO＝30°，即∠AED＝30°，
在Rt△ADE中，cs30°＝，
∴＝，
∴＝；
【拓展提升】
解：过A作AK⊥BC于K，连接MK，AF，设EF交AB于R，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AK⊥BC，BC＝12，
∴∠ABK＝30°，BK＝CK＝6，∠AKC＝90°，
∴＝，
∵M为CF中点，
∴MK是△BFC的中位线，
∴＝＝，MK∥BF，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠FBE＝60°，
∴∠FBA＝∠FBE﹣∠ABK＝30°，∠MKC＝∠FBE＝60°，
∴∠AKM＝∠AKC﹣∠MKC＝30°，
∴△AKM∽△ABF，
∴＝＝，
∵AM＝，
∴AF＝2，
在Rt△ABK中，cs∠ABK＝，
∴＝，
∴AB＝4，
∵∠ABK＝30°，∠BEF＝60°，
∴∠BRE＝90°＝∠BRF＝∠ARF，
∵∠FBR＝30°，
∴BF＝2FR，BR＝FR，
设FR＝x，则BR＝x，AR＝4﹣x，
在Rt△AFR中，FR2+AR2＝AF2，
∴x2+（4﹣x）2＝（2）2，
解得x＝1或x＝5（此时AR为负数，舍去），
∴FR＝1，
∴BE＝BF＝2FR＝2．A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40