2024届河北省衡水市武强中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届河北省衡水市武强中学高三上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案.
【详解】由题意解，可得 ，
所以，
则，
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据特称命题否定形式直接求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：A
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依次将与代入即可求得结果.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以.
故选：B.
4．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
5．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简，再将代入即可得出答案.
【详解】，
故．
故选：A．
6．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．C．或D．2或
【答案】C
【分析】根据已知条件利用余弦定理直接计算即可.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
，即，
解得或，
故选：C
7．若，则有（ ）
A．最大值B．最小值9
C．最大值D．最小值
【答案】C
【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可.
【详解】因为，故
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
8．函数的图象在处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，利用导数的几何意义直接求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
二、多选题
9．设的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则外接圆的半径为
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
【答案】AC
【分析】利用正弦定理化角为边，再根据大边对大角即可判断A；利用正弦定理即可判断B；先利用余弦定理求出，再根据数量积的定义即可判断C；利用正弦定理化角为边，正在跟进余弦定理即可判断D.
【详解】对于A，因为，由正弦定理得，故A正确；
对于B，由正弦定理，得，
即外接圆的半径为，故B错误；
对于C，由余弦定理，
则，故C正确；
对于D，因为，
由正弦定理得，则，故，
所以角为锐角，但不一定为锐角三角形，故D错误．
故选：AC．
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AD
【分析】由一元二次不等式的解法得关系，对选项逐一判断，
【详解】由的解集为或得，
故故A正确，，故D正确，
对于B，，解得，故B错误，
对于C，为，解得，故C错误.
故选：AD
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
12．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数在区间上是增函数
B．当时，函数在区间上是减函数
C．若函数有最大值2，则
D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.
【详解】对于AB选项：当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；
对于C选项：若有最大值2，显然不成立，
则函数有最小值，
所以，解得，故C正确；
对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，
当时，显然成立，
当时，由二次函数的性质可得，解得，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】/0.4
【分析】求导，代入即可求解.
【详解】由得，所以，
故答案为：
14．已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 .
【答案】
【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.
【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A，
所以.
因为点A在函数的图像上，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
15．已知，则等于 ．
【答案】/
【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案.
【详解】.
故答案为：
16．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】求出函数的导数，由题意可得在内有唯一零点，且单调递减，由此列出不等式，即可求得答案.
【详解】因为，故，
由于在区间上有最大值，
且在上单调递减，
故需满足在内有唯一零点，故，
即，解得，
即实数a的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于判断出导数在在上单调递减，则需在内有唯一零点，由此列不等式求解即可.
四、解答题
17．设函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的解集；
(2)若时，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，从而解不等式求出解集；
（2）先得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1）由题知的两个根分别是，3，
则，解得
故，
，解得.
所求解集为.
（2）时，，即，所以有，
那么
，
当且仅当，即时，取等号.
故的最小值为9.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；
（2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
所以
即当时，函数的解析式为，
（2）由，得，
因为为奇函数，所以，
当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为
19．已知函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)设，，若对任意的，存在，使得，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义求参数值；
（2）由在上的最小值不小于在上的最小值求解．
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，即，
即，所以．
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值．
因为在上单调递增，所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以解得，即m的取值范围是．
20．在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）若是方程的一个根，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理角化边后，利用余弦定理得到，进而求得；
（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到，利用同角三角函数的关系得到的值，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式求得.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴，
又∵三角形内角，
∴；
（2）等价于，解得或；
∵，∴，∴，
∴
.
21．已知，设．
(1)求当取最大值时，对应的x的取值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，结合正弦型函数得性质求取最大值时对应的x取值.
（2）由题设可得，再由及差角正切公式列方程求.
【详解】（1），
所以取最大值时，，则.
所以
（2）由题设，又，则，
所以，
由，
所以，即，
所以.
22．已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；
（2）时，不等式恒成立；当时，不等式等价于，设，利用导数求的最小值，可求整数a的最大值．
【详解】（1）若，则，，则切点坐标为，
，则切线斜率，
所以切线方程为，即．
（2）由，得，
当时，，；
当时，，
设，，
设，，
则在单调递增，
，，所以存在使得，即．
时，，即；时，，即，
则有在单调递减，在单调递增，，
所以，
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
【点睛】方法点睛：
不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.