2024届上海市杨浦高级中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市杨浦高级中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先移项通分，等价变形为整式不等式，进而可求解.
【详解】不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
2．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的公式计算即可．
【详解】向量在向量方向上的投影向量是．
故答案为：
3．设等差数列的前项和为，已知，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：.
4．在中，若，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于，所以为钝角，则为锐角，
所以，
所以
.
故答案为：
5．若复数是纯虚数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据复数的乘法，结合纯虚数的定义求解即可.
【详解】是纯虚数，则且，解得.
故答案为：
6．已知是R上的奇函数，当，则的解析式为
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性的性质即可求的解析式；
【详解】设，则
，
又函数为奇函数
，
当时，由，
．
故．
故答案为：
7．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 .
【答案】1或2
【分析】根据给定条件，求出横纵截距，列式计算作答.
【详解】依题意，，因此直线在轴上的截距分别为，
于是，即，解得或，
所以实数或.
故答案为：1或2
8．中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则 .
【答案】
【分析】根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可得到答案.
【详解】根据三角形面积公式得，解得，
根据余弦定理得，解得.
故答案为：.
9．设是从集合中随机选取的数，则直线与圆有公共点的概率是 ．
【答案】/
【分析】根据直线与圆的位置关系可得，利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】直线与圆公共点，等价于，等价于，
，，
设，
当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
当时，.
故，
所以.
即直线与圆有公共点的概率是.
故答案为：
10．已知，则 .
【答案】
【分析】利用二项式定理可得出，令，求出的值，利用赋值法可得出，代值计算即可得解.
【详解】因为
，
所以，，
令，
则，易知，，
.
故答案为：.
11．如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．

【答案】/0.7
【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果.
【详解】连接，，取中点，连接，

四边形为矩形，，，
平面平面，平面，平面，
即为二面角的平面角，，
又，，，为等边三角形，；
分别为中点，，，
或其补角即为异面直线与所成角，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
12．已知曲线．
①曲线C的图像不经过第二象限；
②若为曲线上一点，则；
③存在与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【分析】分、的符号情况化简曲线的方程，从而可画出曲线的图象，结合图象逐一分析即可．
【详解】当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；
当，时，曲线的方程为，即，曲线是椭圆的一部分；
当，时，曲线的方程为，曲线不存在；
当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；
双曲线和有一条共同的渐近线，
综上，可作出曲线的图象，如图：
故①正确；
由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方，
所以当在曲线上时，有，故②正确；
直线是表示与直线平行或重合的直线，
由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误；
设直线与椭圆相切，则由得，
所以，解得，结合曲线的图象，取，
即直线与曲线相切，
所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，
或，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】方法点睛：
1．曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；
2．直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法．
二、单选题
13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】∵，∴，，．∴．
故选：A.
14．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ）
A．27B．48C．54D．64
【答案】C
【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值.
【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为，
后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为，
故第三组的频数为，因此.
故选：C.
15．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
16．设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若对任意，都有，则的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则的取值范围是；
④函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意推出函数的解析式，作出函数图象，利用解析式可判断①；解方程，结合函数图象可判断②；举反例取特殊值，可判断③；根据函数解析式求得最值，可得表达式，分离参数，将，使得成立转化为数列的单调性问题，可判断④.
【详解】函数的定义域为，满足，即，
且当时，,
当时，，故,
当时，，故，
依次类推，
当时，
，
由此可作出函数的图象如图：
对于①， ，此时，故
，①正确；
对于②，当时，；结合①可知当时，；
故当时，令，
即，解得 ，
又，故对任意，都有，则的取值范围是，正确；
对于③，取，则直线，过点，
结合图象可知恰有3个交点，
即恰有3个实数根，即说明符合题意，则③错误；
对于④，当时， ，
其最大值为，
若，使得成立，即，即需；
记，则，
故，当时，，递增；
当时，，递减，又，
则，故的最大值为，
则，即，故④错误，
综合可知，结论正确的个数是2个，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的性质以及数列的单调性等，综合性较强，解答的难点在于要明确函数的性质，明确函数的解析式，从而作出函数图象，数形结合，解决问题.
三、解答题
17．为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据已知，利用互斥事件、相互独立事件的计算公式进行求解.
【详解】（1）设投资农产品加工成功为事件A，投资绿色蔬菜种植成功为事件B，投资水果种植成功为事件C，则
恰有两个项目成功的概率为:
，
所以恰有两个项目成功的概率.
（2）设至少有一个项目成功为事件，则
,
所以至少有一个项目成功的概率.
18．如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，为上一点，且．
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，通过证明，得证直线平面．
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为，所以∽，所以，
因为，所以，所以，所以，
因为平面，平面，
所以直线平面．
（2）平面平面，平面平面，平面，
，所以平面．
以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得．
设二面角的平面角的大小为，由图可知为锐角，则
所以二面角的大小为．
19．已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）当时求出，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；
（2）作出函数的大致图象，数形结合，分类讨论，比较在上的函数值，，的大小关系，即可求得答案.
【详解】（1）当时， ,
所以 ,
当时，，其图象开口向上，对称轴方程为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，其图象开口向下，对称轴方程为，
所以在上单调递减.
综上可知，的单调递减区间为和，单调递增区间为.
（2）由题意知，，作出大致图象如图：
易得，，
所以可判断在上的最大值在，，中取得.
当时，.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，若，则；
若，则.
综上可知，在区间上，
.
20．已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆．若直线与圆相切，求直线的倾斜角；
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合的一点，点M异于点且不与点关于轴对称，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴于点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)是定值，该定值为4
【分析】（1）根据题意，由椭圆的离心率公式，代入计算，即可求得，从而得到结果；
（2）根据题意，根据直线与圆相切，列出方程，即可得到直线的方程，从而得到其倾斜角；
（3）根据题意，由条件可得三点共线，则，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）椭圆的离心率是，解得．故椭圆方程为：.
（2）圆，即，
故圆心，半径，
，设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
故直线AP的倾斜角为或.
（3）
设，，，
三点共线，则，即，
解得，同理可得,
．
21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)存在，详见解析.
【分析】（1）根据题中定义进行求解即可；
（2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得；
（3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可.
【详解】（1）数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，
数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，
所以，；
（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经“和扩充”后的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，所以，
由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以，
由，即，解得，即，
所以，
数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，
数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，
数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列
，且，
即；
（3）因为，，，，，
所以，
，
若使为等比数列，则或，
即或，
综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.