期末专题复习01：一元二次方程定义-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【考点一：基本概念】
1．（2023秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+3x−2=0C．x2=1D．x2+xy=0
2．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x(x+1)=x2 B．(x−1)(x+2)=1xC．x2+bx+c=0 D．x2−2xy+y2=0
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． x2+2x=x2−x+1B．x−12=2x−3
C．1x2+2x−3=−10D． ax2+bx+c=0
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．1x+x=2B．x2−4=4C．5x2+3x−2y=0D．x−5=0
5．（2023秋·江苏无锡·九年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x2−3xy+4=0B．x2−1x=4C．3x2+x=20D．ax2+bx+c=0
6．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2xy=5B．x2+1x=2
C．x2+y2=6D．x2=5
7．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．1x2−x−1=0B．ax2+bx+c=0（a、b、c为常数）
C．x+1x−2=x2D．3x2+1=0
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2x+2=0B．x2+2x+3=xx+1
C．2x+3y=6D．x2−2x+3=0
9．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2−6x+4=0 B．x2+3x−2=0 C．ax2−bx+c=0D．2x2+2y=0
【考点二：含参数方程】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程(m−3)xm2−7−5x−12=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
A．3B．−3
C．±3D．以上答案都不对
2．（2023·江苏·九年级假期作业）关于x的一元二次方程a−2x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．0
3．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若关于x的方程ax2+3x+1=0是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A．a≤94B．a>0C．a≠0D．a>94
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的方程k−3xk−1+2k−3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3B．3C．−3D．不能确定
5．指出下列关于的方程在什么条件下才是一元二次方程．
（1）；
（2）．
6．（2021秋•宝山区月考）已知关于的方程是一元二次方程．
（1）求的值；
（2）解该一元二次方程．
知识点二：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【考点一：化简一般形式】
1.（2021·江苏常州·九年级期中）将（x＋3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般式为_________
2．（2023秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考阶段练习）把一元二次方程x2+2x=5x−2整理成一般形式为______．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x2−3x−2=8的一般形式是 ．
【考点二：各项系数考察】
1.（2023秋·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x2−2x−3=0的一次项系数是 ．
2.（2022·江苏南京·九年级期末）一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（ ）
A．2B．－2C．4D．－4
3．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）一元二次方程2x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，−3B．0，−3C．1，−3D．1，0
4.（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）5x2−1−4x=0的一次项系数是 ．
4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）写出一个以−3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
6．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）；
（2）．
知识点三：方程的解
一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
【考点一：方程的解与方程】
1．（2021秋•江都区期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是
A．6B．5C．4D．3
2．（2021秋•秦淮区期末）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为
A．1B．C．0D．2
3．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）方程ax2+bx+c=0a≠0中，a、b、c满足a+b+c=0和9a−3b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1、−3B．1、3C．−1、3D．无法确定
【考点二：求其中一根】
1．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则此方程必有一个根为（ ）
A．0B．1C．-1D．±1
2．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如果x=0是关于x的方程ax2+3x+a2−a=0的一个根，则a= ．
3．（2023·江苏镇江·统考中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为 ．
4．（2022•淮阴区模拟）若关于的一元二次方程的一个根为1，则 ．
5．（2022•镇江一模）若关于的一元二次方程的一个根是2，则 ．
【考点三：含参数方程求取值】
1．（2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为−1，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
2．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−4，3，则方程a(x+m−1)2+n=0(a≠0)的两根分别为（ ）
A．2,−5B．−3,4C．3,−4D．−2,5
3．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）方程ax2+bx+c=0a≠0中，a、b、c满足a+b+c=0和9a−3b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1、−3B．1、3C．−1、3D．无法确定
4．（2023秋·江苏·七年级专题练习）关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c=0和4a−2b+c=0，则方程的根是（ ）
A．0B．1，−1C．2，−2D．无法确定
5．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则此方程必有一个根为（ ）
A．0B．1C．-1D．±1
6．（2023·江苏盐城·统考一模）若x=2是关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．−1D．−3
7．（2023秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=−2，x2=1（a、b、c均为常数，a≠0），则方程a(x+2)2+b(x+2)+c=0的解是 ．
8．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如果x=0是关于x的方程ax2+3x+a2−a=0的一个根，则a= ．
【考点四：方程的解与代数式值】
1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a为方程x2+2x−4=0的解，则 −a2−2a的值为（ ）
A．2B．4C．−4D．−12
2．（2023秋·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考开学考试）若a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3+2a+2022的值为（ ）
A．2021B．−2023C．2019D．−2019
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知a是方程x2+2x−1=0的一个解，则代数式−a2−2a+8的值为（ ）
A．0B．5C．6D．7
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个解是x=1，则代数式2023−a−b的值为（ ）
A．−2021B．2021C．−2025D．2025
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知a是方程x2−2x−2023=0的根，则代数式2a2−4a−2的值为（ ）
A．4044B．−4044C．2024D．−2024
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根是x=−1，则2018−a+b的值是（ ）
A．2013B．2016C．2023D．2021
7．（2023·江苏宿迁·统考一模）若m是一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则代数式2m2−2m的值为（ ）
A．−1B．−2C．2D．4
8．（2023·江苏扬州·校考一模）已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则2023−m2+m的值为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
9．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0的解，则2023−2a−b= ．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）若方程x2−x−1=0的一个根是m，则代数式m2−m+5= ．
11．（2023·江苏·模拟预测）若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2021−2a−4b的值为 ．
12．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考三模）若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2023的值为 ．
13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x是一元二次方程x2−8x−1=0的实数根，求代数式x+4x2−7x+12÷x+3−7x−3的值．
14．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）先化简，再求值：m+22m2−6m÷m+3+5m−3，其中m是方程x2−2x−1=0的根．