期末专题复习03：一元二次方程根与系数关系-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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根与系数考察比较灵活，月考，期中期末考试都是常考题，中考也是重点考察内容，考察的难度经常为中等题和难题的形式出现，也就要求学生对根与系数要掌握扎实的同时学会灵活变通，比如复杂代数式如何变形成跟韦达定理相关的代数式等，所以遇到比较复杂的情况，一定是想办法变形，找与韦达定理得关系，比如：，这样就找到了与韦达定理之间的关系
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点一：韦达定理基础应用
根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ba，x1x2=ca
考点一：韦达定理基础应用
1．（2022•盐城一模）设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α•β的值是（ ）
A．5B．﹣5C．99D．﹣99
【答案】D
【难度】基础题
【考点】简单根与系数关系
【易错点】韦达定理公式
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详情解析】解：∵α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，
∴α•β＝﹣99，
故选：D．
【提优突破】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系
2．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝4，y2＝﹣4B．y1＝2，y2＝﹣6C．y1＝4，y2＝﹣6D．y1＝2，y2＝﹣4
【答案】B
【难度】中等题
【考点】韦达定理、转化思想
【易错点】转化思想
【分析】设t＝y+1，则原方程可化为at2+bt+c＝0，根据关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，得到t1＝3，t2＝﹣5，于是得到结论．
【解答】解：设t＝y+1，
则原方程可化为at2+bt+c＝0，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴t1＝3，t2＝﹣5，
∴y+1＝3或y+1＝﹣5，
解得y1＝2，y2＝﹣6．
故选：B．
【提优突破】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，转化思想比较关键
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x1，x2是关于x的方程x2−2x−m2=0的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2>0B．x1⋅x20时，方程有两个不相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2，x1x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
【详情解析】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2=2>0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1x2=−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=4+4m2>0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1x2=−m2≤0，故方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意；
故选：B．
【提优突破】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
4．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【答案】m＞﹣1，m的值为1
【难度】基础题
【考点】韦达定理，代数式的变形
【易错点】当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，继而求得实数m的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为x1、x2，且，可得方程m2+2m﹣3＝0，解关于m的方程求得答案．
【详情解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣m，
∵，
∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值为1．
知识点一：韦达定理与复杂代数式
注意：这类的考察比较灵活，所以要对代数式进行化简，找与韦达定理得关系
常见类型：1、
考点二：韦达定理与复杂代数式
1．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果x、y是两个实数（xy≠1）且3x2−2023x+2=0，2y2−2023y+3=0，则x2y+xy2的值等于（ ）
A．20233B．20232C．40469D．2023
【答案】C
【难度】基础题
【考点】韦达定理，代数式的变形，构建方程思想
【易错点】新方程思想转化
【分析】由2y2−2023y+3=0，可得y≠0，可得3×1y2−2023×1y+2=0，可得x，1y是方程3m2−2023m+2=0的两个根，x+1y=20233，xy=23，从而可得答案．
【详情解析】解：∵2y2−2023y+3=0，
∴y≠0，
∴3×1y2−2023×1y+2=0，而3x2−2023x+2=0，x⋅y≠1，
∴x，1y是方程3m2−2023m+2=0的两个根，
∴x+1y=20233，xy=23，
∴x2y+xy2=xyx+1y=23×20233=40469；
故选C
【提优突破】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键．
2．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca，这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
(1)已知a、b是方程x2+15x+5=0的两根，求ab+ba的值．
(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2−y+k=0x−y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2−x1x2−x2x1=2？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)43；
(2)存在，k=−2．
【难度】中等题
【考点】韦达定理，代数式的变形，二元一次方程
【易错点】复杂代数式变形
【分析】（1）根据a，b是方程x2+15x+5=0的两根，求出a+b，ab的值，即可求出ab+ba的值；
（2）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2−x1x2−x2x1=2，即可求出k的值．
【详情解析】（1）解：∵a，b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=−15，ab=5，
∴ab+ba=a+b2−2abab=−152−2×55=43，
∴ab+ba=43；
（2）解：存在，当k=−2时，y1y2−x1x2−x2x1=2．理由如下：
∵x2−y+k=0①x−y=1②，
由①得：y=x2+k，
由②得：y=x−1，
∴x2+k=x−1，即x2−x+k+1=0，
由题意思可知，x1，x2是方程x2−x+k+1=0的两个不相等的实数根，
∴−12−4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1，
则kβ）是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，s1=α+β，s2=α2+β2，…，sn=αn+βn．
(1)直接写出s1，s2的值：s1= ，s2= ；
(2)经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想Sn，Sn−1，Sn−2之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)1，3
(2)sn=sn−1+sn−2，见解析
【难度】难题
【考点】韦达定理，代数式的变形，
【易错点】新方程思想转化、复杂代数式变形
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合完全平方公式的变形解答即可；
（2）根据根的定义可得α2−α−1=0，进而可得αn−αn−1−αn−2=0①，同理可得βn−βn−1−βn−2=0②，两式相加并整理即得结论．
【详情解析】（1）∵α，β（α>β）是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴s1=α+β=1，α⋅β=−1，
∴s2=α2+β2=α+β2−2αβ=1−−2=3．
故答案为：1，3；
（2）猜想：sn=sn−1+sn−2．
证明：根据根的定义，α2−α−1=0，
两边都乘以αn−2，得 αn−αn−1−αn−2=0①，
同理，βn−βn−1−βn−2=0②，
①+②，得（αn+βn）−（αn−1+βn−1）−（αn−2+βn−2）=0，
因为sn=αn+βn，sn−1=αn−1+βn−1，sn−2=αn−2+βn−2，
所以sn−sn−1−sn−2=0，即sn=sn−1+sn−2．
【提优突破】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解，正确变形、掌握求解的方法是关键．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−k+4x+4k=0．
(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根为x1、x2，满足1x1+1x2=34，求k的值．
【答案】(1)见详情解析
(2)k=2
【难度】中等题
【考点】韦达定理，代数式的变形
【易错点】复杂代数式变形
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，先求出△，若△≥0，则此方程总有两个实数根.
（2）根据根与系数的关系，先求出x1＋x2和x1x2的值，将1x1+1x2=34 整理成x1+x2x1x2=34，然后将x1＋x2，x1x2的值代入即可求出k的值.
【详情解析】（1）证明：∵a=1，b=−（k+4），c=4k
∴△＝b2−4ac
=−（k＋4）2−4×1×4k
=k2＋8k＋16−16k
=k2−8k+16
=(k−4)2
∵无论k为任何实数时(k−4)2≥0，即△≥0
∴无论k为任何实数，此方程总有两个实数根.
（2）根据根与系数的关系可得x1＋x2=k＋4，x1x2=4k
由 1x1+1x2=34 得
x1+x2x1x2=34
∴k+44k=34
得k=2
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键.
知识点三：韦达定理与新定义/阅读材料
新定义与阅读材料重点是理解新定义或者阅读材料的意思，其次因为定义解题。
一般情况：第一问属于简单的应用，只要学会按照定义或者要求解题就行
第二问属于灵活变通，需要我们理解定义并应用，同时要考虑到其他的数学知识解题
考点三：韦达定理与新定义/阅读材料
1．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1）65，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【难度】难题
【考点】韦达定理，代数式的变形、新定义理解、函数
【易错点】复杂代数式变形、新定义应用
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出1x1+1x2，然后再求出1x3，只要满足1x1+1x2=1x3即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详情解析】解：（1）∵12+13=56，
∴65，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：65，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，
∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=−baca=−bc，
∵x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴x3=−cb，∴1x3=−bc，
∴1x1+1x2=1x3，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，
∴y1=4m，y2=4m+1，y3=4m+3，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴1y1=1y2+1y3或1y2=1y1+1y3或1y3=1y1+1y2，
即m4=m+14+m+34或m+14=m4+m+34或m+34=m4+m+14，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【提优突破】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式x−ax−bx的值为零，则解得x1=a，x2=b．又因为x−ax−bx=x2−a+bx+abx=x+abx−a+b，所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1=a，x2=b．
(1)理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1=______，x2=______；
(2)知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1=a，x2=b，求a2+b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程4x−1=k−x的解为x1，x2，且x1x2=1，求k的值．
【答案】(1)3，23
(2)a2+b2=19
(3)k=−3
【难度】难题
【考点】韦达定理，代数式的变形、新定义理解、函数
【易错点】复杂代数式变形、新定义应用
【分析】（1）类比题目中的例子可得x=3或x=23；
（2）由题意可得a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得a2+b2=a+b2−2ab=19；
（3）方程变形为x2−k+1x+4+k=0，根据x1x2=1，得方程，求解即可．
【详情解析】（1）解：∵x+abx=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴x2+2x=x+2x=3+23的解为x=3或x=23，
故答案为：3，23；
（2）解：∵x+3x=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=a+b2−2ab=25−6=19；
（3）解：4x−1=k−x可化为x2−k+1x+4+k=0，
∵x1x2=1，
∴4+k=1，
∴k=−3．
【提优突破】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
4．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题：
材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x−1=0的两个不相等的实数根．
材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得1−3b+2b2=0，即21b2−31b+1=0，则可将a，1b看作一元二次方程2x2−3x+1=0的两个不相等的实数根．
请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：
(1)已知实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值；
(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0，且ab≠1，求3ab+3ab+4a+1的值．
【答案】(1)20
(2)53
【难度】难题
【考点】韦达定理，代数式的变形、材料理解、函数、转化思想
【易错点】复杂代数式变形、材料应用、转化思想
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（2）根据材料二，采用换元法解一元二次方程，即可求解．
【详情解析】（1）解：∵实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，
∴可将a，b看作方程x2−7x−2=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=7，ab=−2，
∴2a+2b−3ab
=2a+b−3ab
=2×7−3×−2
=14+6
=20；
（2）解：在方程b2−5b+3=0的两边同时除以b2得31b2−51b+1=0，
又∵实数a满足3a2−5a+1=0，且ab≠1，
∴可将a，1b看作方程3x2−5x+1=0的两个不相等的实数根，
∴a+1b=53，ab=13，
∴3ab+3ab+4a+1=3a+1ba+1b+4ab=3×5353+4×13=53．
【提优突破】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
5.【例2】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【难度】难题
【考点】韦达定理、新定义理解、转化思想
【易错点】新定义应用、转化思想
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到＝1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．