期末专题复习04：一元二次方程应用问题-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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→考纲解析
一元二次方程的应用是考试重点考察内容，无论是单元测试、期中期末还是中考，都是常考题型，通常情况选择和填空属于基础考察，常见的类型是：增长率、传播、行程、工程问题，只要理解相关内容，一般都可以得分，在解答题的考察就比较灵活，可以是营销问题、图形相关问题和几何动态问题，这些题目通常都是中等偏上或者压轴题，对于考生的灵活应用和思维能力的考察比较明显；中考中考察最多的是营销问题和几何动态问题，同时一元二次方程还是计算的工具出现在解答题中，主要根据上门知识导图的分类掌握完全，考试会得心应手哦
→解题思路
列一元二次方程解应用题的一般步骤
①审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
②设：用字母表示题目中的一个未知量；
③列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
④解：解方程求出未知数的值；
⑤验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
⑥答：写出答案，包括单位名称.
考点一：基础专题
【传播问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A．1+x2=121B．1+x+x2=121
C．1+x+x+12=121D．1+x+2x+1=121
【答案】A
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详情解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x(1+x)，
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
1+x+x(1+x)=121．即1+x2=121
故选：A．
【提优突破】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
2．（2019秋·江苏·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．xx+1=182B．xx−1=182
C．2xx+1=182D．xx−1=182×2
【答案】B
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程．
【详情解析】解：由题意可得，
x（x-1）=182，
故选B．
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人B．10人C．11人D．12人
【答案】B
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【详情解析】试题解析：设这个微信群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个微信群共有10人．
故选B.
【增长率问题】
1．（2020秋·江苏·九年级校联考阶段练习）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．2001+a%2=148B．2001−a%2=148
C．2001−2a%2=148D．2001−a2%=148
【答案】B
【难度】基础题
【考点】增长率问题
【易错点】等量关系建立、增长量和增长的联系
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【详情解析】解：由题意可得，
2001−a%2=148，
故选：B．
【提优突破】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．161−x2=9B．161−x2=9C．91−x2=16D．91+x2=16
【答案】A
【难度】基础题
【考点】增长率问题
【易错点】等量关系建立、增长量和增长的联系
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是16×1−x，第二次降价后的价格是16×1−x2，据此即可列方程求解．
【详情解析】解：根据题意可得：
161−x2=9，
故选：A．
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．
【行程问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（ ）秒．
A．23B．3−33C．6−303D．6−263
【答案】D
【难度】中等题
【考点】行程问题
【易错点】等量关系建立、速度、路程、时间的关系
【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．
【详情解析】解：时速108千米=30米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，由平均速度×时间=路程得：
30+02⋅x=30，解得x=2秒，
平均每秒减速=30−02=15米/秒；
设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，
依题意列方程：30+(30−15t)2⋅t=10，即3t2−12t+4=0，解方程得x1=6−263，x2=6+263>2（舍去），
∴x=6−263秒，
故选：D．
【提优突破】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度×时间=路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．
2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）上午8点，某台风中心在A岛正南方向100km处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向40km处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是100km（包含边界），请结合图象解答下列问题：
（1）台风的速度是_________kmh，补给船在到达A岛前的速度是_________kmh，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过100km/ℎ、a