山西省忻州市多校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山西省忻州市多校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．B．C．D．
2．国风榫卯结构积木近来深受年轻人喜爱，其中一款陀螺积木由三块部件组成（如图）为保证陀螺旋转更加平稳且时间更长，应使陀螺最终结构呈中心对称图形，并且不为轴对称图形，则下列拼接方式合理的是（ ）

A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．将抛物线向左平移1个单位长度所得新抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的半径为5，于点C，若，则弦的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．图2中的图案是由图1中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则旋转角的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
8．关于方程，下列几位同学的说法中，正确的是（ ）
小明：当时，方程没有实数根．
小强：当时，方程有两个相等的实数根．
小新：当时，方程有两个不相等的实数根．
小宇：方程有没有根与c无关．
A．小明B．小强C．小新D．小宇
9．如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（ ）

A．30B．36C．48D．56
二、填空题
11．点关于原点的对称点的坐标为 ．
12．如图，四边形内接于，若，则 ．

13．一元二次方程的一个根为，则常数k的值为 ．
14．如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为 ．
15．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．

18．为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（两面墙足够长）用篱篦围成矩形花圃，且，所用篱笆总长为设．

(1)求花圃的面积．（用含x的代数式表示）
(2)若篱笆围成的矩形的面积为，现要在花圃的对角线上修一条小道，求小道的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在正方形的格点（网格线的交点）上，每个小正方形的边长为1．

(1)与关于原点O成中心对称，画出．
(2)若是内的一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的．
(3)若上两问中的和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为___________．
20．山西秧歌历史悠久，表演风格多变，其中抛手绢更是一项少数演员掌握的“绝活”，手绢从左手经过头顶抛到右手，形成一条抛物线，手绢抛出时左手与右手距地面的距离都为．左右手之间的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若演员身高为，求手绢经过头顶时距离头顶的距离．
21．阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
圆中转化思想的探究
例：如图1，在中，直径垂直弦于点E，已知，．求直径的长．

解：如图2，连接，

∵为直径，
∴（依据1），
∵直径垂直弦于点E，
∴（依据2），
∴，
在中，．
解题心得：本题解题关键是将转移到处，构建直角三角形求解．
任务：（1）填空：材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．
（2）莉莉猜想：若将题目条件中的“直径”改为“弦”，其余条件均不变（如图3），则直径仍然为．她受原例题启发，连接并延长交于点F，连接，只需说明即可求解直径的长．
①依据莉莉的思路补全图形．
②请对以上猜想进行证明．

22．综合与实践
如图1，矩形的边，，将矩形绕点A逆时针旋转角得到矩形，与交于点H．
数学思考：（1）填空：图1中__________．（用含的代数式表示）
深入探究：（2）如图2，当时，求的长．
（3）如图3，当点H在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．

23．综合与探究
如图，抛物线经过点，与x轴另一个交点为B，顶点为C，连接，．

(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)求的面积．
(3)如图，动点P沿线段运动到点B停止，过点P作直线轴，交x轴于点Q，当的面积为面积的时，求点Q的坐标．