2024届黑龙江省大庆市肇州县第二中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省大庆市肇州县第二中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方和除法化简复数，结合复数的概念可得出结果.
【详解】因为，因此，复数的虚部为.
故选：B.
2．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量减法和数量积的坐标表示求解即可.
【详解】设，则由题意可得，
解得，
所以，
故选：D
3．已知集合，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，，
所以，，
则，
故选：B
4．设,则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数进行化简,转化为二次函数在定区间上的最值问题求解即可.
【详解】
,
令,则原函数转化为
,
则函数在上为增函数,在上为减函数,
又,
所以函数的最小值为,
即的最小值为.
故选:C.
5．已知为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
【答案】B
【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【详解】设公差为，
由，
得，解得，
所以，
所以.
故选：B.
6．已知是奇函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可.
【详解】由题设，则，
而满足题设.
所以.
故选：C
7．在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9，
故选：D

8．函数零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据零点的定义计算即可.
【详解】由得：
或
解得或．
因此函数共有2个零点．
故选：B.
二、多选题
9．下列不等式正确的是（ ）
A．
B．，则
C．是不等式成立的必要不充分条件
D．函数的最大值是
【答案】BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较出大小；C选项，解不等式组得到或，从而得到C正确；D选项，配方求出二次函数的最大值.
【详解】A选项，当时，，不满足要求，A错误；
B选项，，
因为，所以，故，B正确；
C选项，由解得，由解得或，
故的解集为或或，
由于或，
但或，
故是不等式成立的必要不充分条件，C正确；
D选项，，
因为，所以当时，取得最大值，最大值为，D正确.
故选：BCD
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在上单调递减
C．关于对称
D．图象可以由的图象向左平移得到
【答案】AC
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】因为
，
对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，当时，，
所以，函数在上不单调，B错；
对于C选项，，所以，函数的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，因为，
所以，函数的图象可以由的图象向左平移得到，D错.
故选：AC.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若△ABC是锐角三角形，恒成立
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的二倍角公式，正弦定理，三角形的性质，三角函数的诱导公式，反三角函数的概念，即可分别求解.
【详解】因为在△ABC中，
，故A正确；
取，则，而，故B错误；
若△ABC是锐角三角形，则，
所以，又在上单调递增，
所以恒成立，故C正确；
因为，所以为钝角，所以，故D正确.
故选：ACD
12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．1225既是三角形数，又是正方形数；
C．；
D．，总存在，，使得成立；
【答案】ABD
【分析】根据数列和的递推公式，由累加法得通项公式，放缩法验证选项A；用通项公式验证选项B；裂项相消求和验证选项C；取实例验证选项D.
【详解】依题意，数列中，，，，，…，，，
于是得，满足上式，
数列中，，，，，…，，，
于是得，满足上式，
因此，，
对于A，，
则，A正确；
对于B，因为，则，又，则，B正确；
对于C，当时，，
则
，C错误；
对于D，，，取，，则，
所以，，总存在，，使得成立，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．若，，则 ．
【答案】/
【分析】应用平方关系作“1”的代换，结合正余弦齐次式求目标式的值.
【详解】由题设.
故答案为：
14．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是 .
【答案】
【分析】根据全称命题和特称命题的关系，将原命题等价转化成不等式的有解问题进行求解.
【详解】由题意，存在实数使得不等式成立，
所以不等式的解集非空，
①当时，，得，符合题意，
②当时，不等式对应的二次函数开口向下，
故的解集显然非空，符合题意，
③当时，因为不等式的解集非空，
所以，即，解得或，
所以或，
综上或，
故答案为：
15．已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
【答案】5
【分析】根据题意先求得，，从而求得，再构造等比数列，从而得到数列的通项公式，进而根据的单调性即可求解．
【详解】由，解得，
又，所以．
另一方面由，可得，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，易知是递增数列，
又，，
所以满足的最小正整数．
故答案为：5．
【点睛】本题考查递推数列．
16．已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则 ．
【答案】/
【分析】设与的图象交点为，再根据导数的几何意义列方程化简求解即可.
【详解】设与的图象交点为，则，即，故.
又则，解得，则.
故答案为：
四、解答题
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的真想公司化简，可得，利用三角形面积公式即可求得答案；
（2）由余弦定理推出，继而求出的值，即可得答案.
【详解】（1）由已知，在中有，故，
即，
即，而，所以，
又，故的面积为.
（2）由余弦定理，得，可得，
所以，
所以，即，
所以的周长为3.
五、证明题
18．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求证数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推关系可用退位相减法得到的关系，再用等比数列的定义来证明即可；
（2）由等比数列的通项公式求出的通项，再代入，继而求出的通项，最后裂项求和即可.
【详解】（1）因为
所以，当时，，，
两式相减可得，即，又所以，
所以可得，，
又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）因为题（1）中是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以继而可得，
所以，，
所以，
所以，
又可得，所以，
所以
19．如图，已知四边形是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，由得即可证得.
（2）由用空间向量法求的两个平面所成角的余弦值.
【详解】（1）
如图：在平面中作于，
因则，
因平面平面，平面平面，
所以平面，因平面，所以，
又，故，，两两垂直，如图建立空间之间坐标系，
因，，，故为矩形，，
在中，，
故，，，，，
取的中点，连接EG，则，
，，故，，
又平面，平面，所以平面.
（2）平面即平面的一个法向量为
，，
设平面的一个法向量为，
则，得，令，则，
故，设平面与平面所成角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为.
六、解答题
20．ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数(万人)，详见下表:
(1)根据表中数据信息及模型(1)与模型(2)，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程;
(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表:
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考公式与数据: ，;
【答案】(1)更适合，回归方程为
(2)该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关
【分析】（1）根据增量变化确定模型，再应用最小二乘法求回归方程即可；
（2）应用卡方公式求卡方值，由独立试验的基本思想下结论即可.
【详解】（1）根据表格数据知：随月份变化，用户人数的增量在变大，则更适合，
而，，则，
所以，故.
（2）由，
所以小概率的独立性检验，该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关.
七、证明题
21．已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点．
(1)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积；
(2)若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可；
（2）设点，，，以为切点的切线方程为，联立抛物线方程，根据判别式等于0得到直线斜率，从而得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点.
【详解】（1）据题意，直线l的斜率为，则直线l的方程为，设，，
由，联立可得，
易得，故，，
因此，．
（2）证明：设点，，，以M为切点的抛物线的切线方程为，
由，联立可得，
由判别式，即，即，显然，可得，
因此，以M为切点的抛物线的切线方程为，
同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为，
由于这两条切线都经过点，代入可得，，
则直线MN的方程为，可得直线MN过定点．

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设出切线方程，将其与抛物线方程联立，利用判别式等于0，从而得到切线斜率，再写出切线方程，最后得到切点弦所在直线方程，最后即可求出直线所过定点坐标.
八、解答题
22．设函数，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出，，写出切线方程；
（2），讨论，，确定的正负找出单调区间.
（3）恒成立，讨论的单调性，由得a的取值范围．
【详解】（1）∵ ∴，，，
∴切线方程为：.
（2），
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
综上所述：
时，的单调递增区间为R；
时，的单调递减区间为，单调递增区间.
（3），
令，即，.
①时，，单调递增，，故不成立，舍去.
②时，恒成立，此时.
③时，由（2）知，，故只需即可，
，
即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
X（月份）
1
2
3
4
5
Y（万人）
3.6
6.4
11.7
18.64
27.5
基本适应
不适应
合计
年龄小于30岁
100
50
150
年龄不小于30岁
75
75
150
合计
175
125
300
15
55
979
67.84
263.56
1120.24
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
负
0
正
减
极小值
增