2023-2024学年广东省东莞市第四高级中学高三上学期10月月考数学word版含答案

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二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
三、填空题（15题第一空3分，第二空2分）
13. 14. 24 15. 16. 55 ；
四、解答题
17. 在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，，，．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．
【详解】（1）由余弦定理知，，…………………………………………1分
所以，…………………………………………2分
即，
解得或（舍负），…………………………………………3分
所以．…………………………………………4分
（2）由正弦定理知，，…………………………………………5分
所以，…………………………………………6分
所以．…………………………………………7分
（3）由余弦定理知，，……………………8分
所以，，……………………9分
所以
.……………………10分
18.已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；(2)证明：.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，……………………2分
解得：，……………………4分
.……………………5分
（2）由（1）得：，……………………7分
……………………8分
，……………………9分
……………………10分
，……………………11分
.……………………12分
19.【详解】（1）由表知的平均数为，…………………1分
所以，…………………3分
，…………………5分
因为与的相关系数近似为0.98>0.75，说明与的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.…………………6分
（2），…………………7分
，…………………9分
，…………………10分
，…………………11分
所以，所以关于的经验回归方程为.…………………12分
20. 设正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；(2)记的前项和为，求证：.
【详解】（1）因为，当时，，又，则；……1分
当时，，，…………………2分
两式相减，整理可得，…………………3分
又为正项数列，即，
所以，…………………4分
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.…………………5分
（2）由（1）可得，所以，…………………6分
所以，…………………7分
所以，…………………8分
…………………9分
…………………10分
所以.…………………11分
…………………12分
21.【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，…………………1分
的所有可能取值为，…………………2分
，…………………3分
，…………………4分
，所以的分布列为：
…………………5分
所以.…………………6分
（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，
则，，，…………………7分
，，，…………………9分
所以
.…………………11分
甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.…………………12分
22.已知函数，其中为常数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若对任意，都有，求的取值范围．
【详解】（1）当时，得，故，…………………1分
当时，恒成立，…………………2分
故在区间为单调递增函数.…………………3分
（2）当时，，故，
即，即.
令…………………4分
①当时，因为，故，即，
又，故在上恒成立，故；…………………6分
②当时，，，
故在上恒成立，在上单调递增，
故，即在上单调递增，
故，故；…………………9分
③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，
则在时为单调递减；在时为单调递增
又，故，舍去；…………………11分
综上：…………………12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
B
D
D
B
题号
9
10
11
12
答案
BC
AD
ABD
ABD
0
1
2