2024届四川省江油市太白中学高三上学期9月月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省江油市太白中学高三上学期9月月考数学（文）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解出集合，根据交集的含义即可得到答案.
【详解】已知集合,
,
则,
故选：A.
2．已知 ，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值及指数函数的单调性逐项判断即可.
【详解】取，则满足题意，
此时，所以A选项错误；
取，则满足题意，
此时，所以B选项错误.
取，则满足题意，
此时，所以C选项错误.
由于在上递减，而，
所以，
所以D选项正确.
故选：D
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦型函数图象平移的性质进行求解判断即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的解析式为：，
于是有，
解得，
针对四个选项中的四个角都是正角且小于，
所以令，得，
故选：D
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义及基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】解：对于A：是奇函数在上为减函数，故A错误；
对于B：是非奇非偶函数，在区间上为增函数，故B错误；
对于C：是奇函数，在上为减函数，故C错误；
对于D：定义域为，函数在区间上为增函数，
又，所以是奇函数，故D正确；
故选：D.
5．函数是定义在上的可导函数，则“函数在上单调递增”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，，根据导数的几何意义，可得在上单调递增；反之，比如函数在上单调递增，而，从而可得到结论.
【详解】当时，，根据导数的几何意义，可得在单调递增，
所以“在上单调递增”是“在上恒成立”的必要条件，
反之，比如函数在上单调递增，而，
所以“在上单调递增”是“在上恒成立”的不充分条件，
综上可知，“在上单调递增”是“在上恒成立”的必要不充分条件，
故选：B.
6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义结合函数的图象在点处的切线方程即可求得答案.
【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是，
故，，
故，
故选：A.
7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的值是（ ）
A．3．B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】按流程图顺序运算可得结果.
所以输出n为4.
故选：B.
8．若是上的奇函数，且在上是增函数，若，那么的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得（1），结合函数的单调性可得在区间上，，在上，，结合函数的单调性可得区间上，，在上，；而原不等式可以转化为或，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，是上的奇函数，且，则（1），
又由在上是增函数，则在区间上，，在上，，
又由函数为奇函数，则在区间上，，在上，，
或，
则有或，
即不等式的解集为，，；
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是化简变形．
9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了 120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，利用对数函数的单调性及对数的运算性质求解．
【详解】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每100mL血液中酒精含量小于20mg，
即t小时后，，则，
两边取对数得，
即小时，
所以至少需要等待8个小时，
故选：D．
10．函数的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，时，，，
所以，所以，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．
故选：A.
11．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的范围，再由平方关系求出，然后利用诱导公式、正弦的二倍角公式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
12．已知函数对任意都有，若的图象关于点对称，且，则
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】【解析】由题意得函数关于点对称，即为奇函数.又由得：，即，，因此,即函数周期为，所以，选D.
点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值的关系.
二、填空题
13．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
14．已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
15．已知命题：函数的定义域为，命题：指数函数是上的增函数．若“”为真命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】先求出命题都为真命题时的取值范围，然后由为真可得真真，由此得到关于实数的不等式组，求解即可．
【详解】对于命题：因为函数的定义域为，
所以恒成立，所以，解得．
对于命题：因为指数函数是上的增函数，
所以，解得．
∵ 为真命题，
∴ 命题为真命题，命题为真命题，
∴，即，
∴实数的取值范围为．
故答案为：．
16．已知函数，若方程有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，且，所以最小值点的坐标为，若方程有两个不相等的实根，则函数与有两个不同交点，而是过原点的直线，则应大于点与原点连线的斜率，且小于直线的斜率，即，故答案为.
【解析】分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题
17．记的内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
又在中，，∴，
∴，
∵，
∴.
（2）在中，由余弦定理可知，
又∵，∴，
解得或（舍去），
故的面积为.
18．设函数
(1)求的最大值及此时的x值；
(2)求的单调减区间；
(3)若时，求的值域.
【答案】(1)，时，.·
(2)，.
(3)
【分析】（1）首先利用三角恒等变换化简得，再求出其最值即可；
（2）根据正弦型三角函数的单调区间即可得到不等式，解出即可；
（3）计算出，再根据正弦函数值域即可得到答案.
【详解】（1）
，
当，即，时，.
（2）由，得
，
的单调减区间为，.
（3），
由，得，
，
则的值域为.
19．设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
故，．
20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解；
（2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解.
【详解】（1）解：由函数的图象知：，则，
所以，，
因为，
所以，则，
又因为，则，
所以；
（2）由题意得：，
令，
则化为：，
即在上有解，
由对勾函数的性质得：，
所以.
21．已知函数，其中，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）直接通过求导判断单调区间即可；
（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
【点睛】当原方程或不等式较为复杂，但同时含有指数式和对数式时，可以尝试对原方程或不等式进行同构变形并换元，再对其进行构造函数求导研究，可以将过程大大简化.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求的极坐标方程；
(2)设点的直角坐标为，直线经过点，交于点交于点，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果.
【详解】（1）由曲线：（为参数），
消去参数得：，
化简极坐标方程为：，
曲线：（为参数），
消去参数得：，
可得极坐标方程为：.
（2）
因点的直角坐标为，
设直线的倾斜角为，，
则直线的参数方程为：，（为参数，），
代入的直角坐标方程整理得，
，
则，
设，
则，，，
则，
直线代入的直角坐标方程整理得，
，
则，
因，
所以.
即的最大值为.
23．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若正数a，b满足求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；
（2）先根据基本不等式证明，再利用绝对值的三角不等式证明即可
【详解】（1）不等式即为，
等价为或或
解得或或，
综上可得，原不等式的解集为.
（2）证明：，
即，
当且仅当即时取等号，
当且仅当，即时取等号，
当且仅当时取等号，
【详解】a=8，b=3，n=1
n=2
n=3
n=4
a=8+4=12
a=12+6=18
a=18+9=27
b=2×3=6
b=2×6=12
b=2×12=24
b=2×24=48
12≤6？否
18≤12？否
27≤24？否
？是
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减