2024届云南师范大学附属中学高三上学期高考适应性月考卷（四）数学试题含答案

这是一份2024届云南师范大学附属中学高三上学期高考适应性月考卷（四）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算及虚部的概念求解.
【详解】因为，
所以的虚部为2，
故选：A.
2．已知，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的含义得到集合，，然后求并集即可.
【详解】，，所以.
故选：B.
3．的展开式中的系数为（ ）
A．10B．40C．30D．20
【答案】B
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】解：展开式的通项公式为，
令，得，则的系数为.
故选:B
4．已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（ ）
A．8B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合等比数列前n项和求出公比，再列式计算即得.
【详解】设等比数列的公比为，，解得，
所以.
故选：A
5．已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合椭圆的定义根据余弦定理得，代入三角形面积公式并化简得，根据同角三角函数基本关系求解角即可.
【详解】由已知，所以，
由余弦定理可得：，
所以，整理得，即，
又的面积为1，所以，
所以，所以，即，
所以，又，所以，所以.
故选：D.
6．已知是函数的一个极值点，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据极值点的定义求解即可.
【详解】据题意，应是的一个变号零点，
由于，
所以，解得，
当时，时，，当时，，符合题意.
故选：C.
7．某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局，若一组对局中有作弊玩家，则认为这组对局不公平.现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰有一组对局为不公平对局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型公式计算即可.
【详解】所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，
记该事件为事件，则.
故选:C.
8．已知球的半径为4，在中，，，且的三个顶点都在球的表面，所在平面将球分为较大部分和较小部分，点是较大部分球面上的一个动点，当二面角的余弦值为时，所在平面与球面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由正弦定理可得，结合条件可得为二面角的平面角，再结合余弦定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图所示，设的外接圆圆心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为，记所在平面为，所在平面为，连接，则.在中，，则，平面与球面的交线为圆，该圆就是的外接圆，由正弦定理知；取的中点为，根据垂径定理知，则平面，故为二面角的平面角，即；在中，，由勾股定理得，易知四点共面，在中，，由勾股定理得，如图在四边形中，，知四点共圆，记该圆为圆，则为圆的直径，在中，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得，在中，，由勾股定理得，即圆的半径为，故交线长为，
故选：D.
二、多选题
9．设函数，，已知的两条相邻对称轴的间距为，则下列命题正确的有（ ）
A．B．取最大值为
C．在上单调递增D．是的一个对称中心
【答案】ABD
【分析】由的两条相邻对称轴的间距为，得，根据函数的性质可判断选项.
【详解】，
因为的两条相邻对称轴的间距为，故的周期为，
选项A：由为，所以，故A正确；
选项B：因为，所以
因为，所以，故B正确；
选项C：当时，，显然不单调，故C错误；
选项D：当时，，故是的一个对称中心，所以D正确，
故选：ABD.
10．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面中的任意一条直线与平行
C．，，三条直线有公共点
D．正方体中的任意一条棱所在直线与直线的夹角都是
【答案】AC
【分析】根据正方体中的线面垂直可判断A，取特例可判断B，利用直线共点判断C，取特例判断D.
【详解】如图，
平面，平面，，故A正确；
显然与是异面直线，故B错误；
在平面中，，且，则与交于点且，
同理与交于点且，即点与点重合，
则三条直线有公共点，故C正确；
易知平面，又平面，故，故D错误.
故选：AC.
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．已知，若函数有三个零点p，2，q，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由判断A，由零点得出在的减区间，从而判断B，然后计算和得出，判断C，再结合判断D．
【详解】据题意，，解得，故A正确；
，这是一个二次函数，若，则，此时单调递增不可能有三个零点，，
不妨设的两个零点为，则时，，时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如下示意图，
已知，则是函数在单调递减区间上的零点，所以，解得，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确，
故选：AD.

三、填空题
13．在平面直角坐标系中，，，若，则 .
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标表示求解.
【详解】因为，所以，故
故答案为:.
14．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 .
【答案】0.14/
【分析】根据频率分布直方图求出，据此可求解.
【详解】由题知：
故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.
故答案为：0.14
15．函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
【答案】4
【分析】将变形为，设，判断出其对称中心，结合奇函数的性质即可求.
【详解】在闭区间上一定有最值，，
设，则，是奇函数，则其对称中心为，
所以在，，
则
故答案为：4
16．双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点.如图，已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点.某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过.双曲线在点处的切线与轴交于点，若，且反射光线所在直线的斜率为，则双曲线的离心率是 .
【答案】2或/2或
【详解】根据双曲线的光学性质，可以发现双曲线在点处的切线是的角平分线.
在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，
所以，又，所以，
又因为，于是
因为反射光线所在直线的斜率为，即，所以，
又，所以，且，解得，
在中，由余弦定理得，所以，
所以，解得或.
故答案为：2或
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
四、解答题
17．已知数列为等差数列，为的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）据题意，数列为等差数列，
则，故，
所以，则.
（2），
则①，
②，
由①②得
，
则
18．如图，在三棱锥中，平面，，.

(1)求点到平面的距离；
(2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【详解】（1）因为平面，又平面，平面，
所以，
又，由勾股定理得，
又，
所以，故，
因为，平面，
所以平面，则为点到平面的距离，
故点到平面的距离为2.
（2）在平面内过点作的平行线，则，
以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得：，
则，

，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
所以，
记二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.
19．在梯形中，，是上一点，满足，是上一动点，.

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，，，且，，三条直线交于同一点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理，根据，即可求解；
（2）首先作图，并利用三角形相似，求得，并利用余弦定理求，并利用向量数量积公式，即可求解.
【详解】（1）在中，因为，
所以，
则，
解得
（2）如图，设与交于点，连接并延长交于点，

由于，知相似于，且点满足，
则在中，由余弦定理得
，
又，
故，
所以
20．平面上一点P满足：P点到的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在一条射线上，记点P的轨迹方程为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段，的中点均在曲线C上，设线段的中点为M，证明：垂直于y轴.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，通过直接法列出关于的方程，化简即可得结果；
（2）设出点的坐标，根据点的坐标满足曲线方程化简易得是方程的两个解，结合韦达定理得点的纵坐标与点的纵坐标相同进而得结果.
【详解】（1）设点，根据题意，解得
由于点不在一条射线上，
故点的轨迹方程为：.
（2）设线段，的中点分别为，，
设，，因为点在曲线上，则，
因为点在曲线上，所以：
同理，
故是方程的两个解，
由韦达定理知，所以，
即点的纵坐标与点的纵坐标相同，故垂直于轴.
21．运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有的概率传给甲；若丙持球，则他有的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为.
(1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望；
(2)求.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).
【分析】（1）求出每一轮常游戏甲胜的概率，再利用二项分布的概率公式求出分布列及期望.
（2）利用全概率公式求出与的关系式，再利用构造法求出.
【详解】（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，
，
因此一轮游戏甲胜利的概率为，随机变量的可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）设事件表示次传球后，球在甲同学手上，事件表示次传球后，球在乙同学手上，
事件表示次传球后，球在丙同学手上，设次传球后，乙持球的概率为，
则，由全概率公式知：
，
整理得，于是，而，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即有，
所以.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，都有，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）分，讨论根据导数与函数单调性的关系即得；
（2）由题可得，然后构造函数，利用导数分类讨论研究函数的单调性求函数的最值结合条件即得.
【详解】（1）由题可知函数定义域为，，
当时，，在定义域上单调递增；
当时，由可得，由可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题可知已知不等式等价为，
即，
记，
则的定义域为，，
观察知，
故的表达式可以因式分解，，
当时，在上，，即在上单调递增，，则，解得，故；
当时，在上，，即在上单调递减，，则，解得，此时无解；
当时，在上单调递增，在上单调递减，，解得，此时无解；
综上，的取值范围为
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
X
0
1
2
3
P