2024届内蒙古包头铁路第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届内蒙古包头铁路第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解
【详解】由可得，解得，
因为全集，所以，
所以
故选：D
2．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】计算出即可.
【详解】因为
所以其共轭复数是
故选：A
【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单.
3．在中，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】判断“”是“”的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】由题意可知在中，时，一定有，
反之，时，也可能是，不一定推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.
【详解】在上递增，
，
，所以的零点在区间.
故选：A
6．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接利用函数性质判断即可.
【详解】选项A中不是周期函数,故排除A;
选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;
故选:C.
【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.
7．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合辅助角公式，对函数化简，利用可求出答案.
【详解】由题意，，
因为，所以函数的最小正周期为.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的周期，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
8．若，且，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意即可得，得到，从而可得到与的夹角.
【详解】，，，，
，
，，
故选：B.
9．在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.
【详解】解：由可得，
由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.
故选：B.
10．若，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】转化条件得，再利用即可得解.
【详解】由可得，
，，
.
故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，属于基础题.
11．在中，角所对的边分别是且，面积为，则边的长为( )
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，得到，结合余弦定理，即可求解.
【详解】因为，且的面积为，可得，
解得，所以，
当时，可得，所以；
当时，可得，所以，
故选：C.
12．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.
【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，
又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，
所以.
故选：D.
二、填空题
13．已知命题，，则为 .
【答案】，
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题得到结果.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题。
命题，，则：，.
故答案为：，
14．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则
【答案】
【分析】根据题中已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】解：设等比数列的公比为，
因为，，则，则，
因此，.
故答案为：.
15．若，则的最小值是 ．
【答案】3
【分析】配凑出和分母相同的，再用基本不等式即可.
【详解】解：，
当且仅当时，取到等号.
故答案为:3
16．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
【答案】.
【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）因为，，
由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．公差不为0的等差数列，为﹐的等比中项，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2），.
【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可.
(2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.
【详解】(1)设等差数列的公差为则因为为,的等比中项,
故,化简得.
又故.故,.
即.
(2) ,故
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.
19．某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调查100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示.
（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；
（2）若已从年龄在的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率.
【答案】（1）各组年龄的人数分别为：10，30，40，20，平均年龄为：37岁；（2）.
【详解】试题分析：（1）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；
（2）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．
试题解析：
（1）由图可得，各组年龄的人数分别为：10，30，40，20.
估计所有使用者的平均年龄为：(岁）
（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在范围内的人数为4，记为；年龄在范围内的人数为2，记为.从这6人中选取2人，结果共有15种：
.
设“这2人在不同年龄组“为事件.
则事件所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为.
20．某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行手机购买意向的调查，将计划在今年购买手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．
附：，其中．
(1)完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
(2)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”，现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
(2)
【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.
（2）利用列举法求出基本事件，计算所求的概率即可.
【详解】（1）由题意，列联表如下：

没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
（2）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，，”，3名“观望者”分别为“，，”，则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20种.
其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；；；；；；；；”共9种.
抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.
21．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的极值；
（2）利用导数，将不等式恒成立，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
得或，
当时，解得：或，当时，解得：，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
当变换时，，的变化情况如下表所示，
所以函数的的极大值为，极小值为
（2），，，
因为在上单调递减，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
所以，即的取值范围是.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.
【答案】(1) 线的普通方程为 ;(2)6.
【详解】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.
试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，
所以，消去参数的曲线的普通方程为：.
(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，设其两个根为，，所以：，，
由参数的几何意义知：.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.042
6.635
7.879
10.828
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女性员工
男性员工
合计
100
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女性员工
男性员工
合计
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增