2024届四川省德阳市第五中学高三上学期9月月考数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省德阳市第五中学高三上学期9月月考数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数模的公式直接计算即可.
【详解】，由复数模的定义得.
故选：D
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接求导数即可.
【详解】因为，则.
故选：B
3．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解
【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点在圆上，故，即
故直线l的方程为：
令令
当l的横纵截距相等时，
又
解得：
即，即
故选：A
4．已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7B．9C．15D．30
【答案】C
【分析】先根据已知条件并结合等比数列的通项公式求得公比，再求出各项得出结果即可.
【详解】由，得，
即，由等比数列，
得，即.
由题知，所以.
所以.
故选：C.
5．已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】构造函数，，结合指数函数和一次函数的单调性求解即可.
【详解】设，，则，
因为函数和在上都为增函数，
所以函数在上为增函数，
所以.
故选：C.
6．若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】判断一个命题是假命题只需举一个反例即可
【详解】成立，可取，
可得使得不成立，则充分性不成立；
另一方面，可取，
此时，使得不成立，必要性不成立；
故选：D.
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.
【详解】由题意可得：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除B，D.
当时，则，可得，
所以，排除A.
故选：C.
8．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出，解出，然后将代入计算即可得解.
【详解】由已知可得，解得，
当时，则.
故选：D.
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据条件求，即可求得，再代入二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】，
所以，
所以，
.
故选：D
10． 中，若，则 的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得，再利用余弦定可得，根据，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.
【详解】因为在 中，若，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以由余弦定理得，
化简得，
所以
，
故选：B
11．已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（ ）

A．22B．49C．7D．
【答案】C
【分析】过作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案．
【详解】过作且，连接、，

则四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，
因为，即，而，
则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，，即，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，，所以，．
故选：C．
12．已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将不等式变形为，构造函数，求导确定单调性，即可由最值求解.
【详解】由在恒成立，即，
令，所以单调递增，
故不等式转化为，故，进而
令，
当单调递减，当单调递增，
故，
故，即，
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
二、填空题
13．已知向量，，且满足，则 .
【答案】4
【分析】由向量垂直的坐标表示求解.
【详解】由已知，又，
所以，．
故答案为：4.
14．的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是第 项．
【答案】
【分析】根据题中条件求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数值，即可得解.
【详解】由题意可得，即，
，解得，
的展开式通项为，
由，可得，因此，展开式中的常数项是第项.
故答案为：.
15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形三角函数的定义结合二倍角公式求解即可；
【详解】
设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，
因为，
所以，
则．
故答案为：.
16．已知双曲线，是两个焦点，为原点，是双曲线右支上一点，，则= .
【答案】
【分析】由双曲线定义和余弦定理求出，进而求出，进而求出和，求出答案.
【详解】由题意得，故，
所以，
由双曲线定义可知，，
在中，由余弦定理得
，
即，解得，
因为，所以，
故，
设，
则，解得，
因为，故，解得，
故.
故答案为：
三、解答题
17．九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100），现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：
(1)在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生．
①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；
②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率．
(2)如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关？
参考数据：
，其中．
【答案】(1)①文科生2人，理科生3人；②
(2)没有99.9％的把握认为获"创文竞赛优秀奖"与文理科类有关．
【分析】（1）求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列举法求出概率作答.
（2）先列联表，求出的观测值，再与临界值表比对作答.
【详解】（1）①得分小于80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和60，比例为,
所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人．
②这5名学生有2人是文科生，记这两人为， 3人是理科生，记这三人为，
随机抽取两名同学2人包含的基本事件有：
，共10个，
其中至少有一名文科生情况有7种：
因此抽取的2名学生至少有一名文科生的概率为 .
（2）由题中数据可得如下联表：
则的观测值：，
所以没有99.9％的把握认为获"创文竞赛优秀奖"与文理科类有关．
18．在中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)已知，的外接圆半径为，求的边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；
（2）先根据正弦定理求得，再根据余弦定理求得，进而根据等面积法求得．
【详解】（1）解：在中，
由，根据正弦定理得
，
，
，
，
又，
．
（2）解：在中，
，
，
根据余弦定理得
，
即，
，
，
，
．
四、证明题
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，，E为PD的中点．
(1)求证：平面AEC；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)直线与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）连接交于，连接，证明，根据线面平行判定定理证明平面AEC；（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和直线的方向向量，根据向量的夹角公式得到答案.
【详解】（1）如图所示：连接交于，连接，则为中点，是棱的中点，
故，平面，平面，故平面.
（2）以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，
设平面的法向量为，则，所以，
取，可得，所以为平面的一个法向量，，
直线与平面所成角的正弦值为.
五、解答题
20．已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得有最小值3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义可得，其中点D为点E在准线上的射影，再根据抛物线的定义可得的最小值的表达式，从而求出p的值，即可得出答案．
（2）由已知条件可求出直线的方程，再设出直线的方程并代入抛物线C中化简求出P，Q两点纵坐标之间的关系，从而设出直线BP，并与直线的方程联立求出，同理可得，从而可得的表达式，化简可得，即可得出结论．
【详解】（1）过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，
根据抛物线的定义可得，于是，
当A，E，D三点共线时，有最小值，
所以，解得，所以抛物线C得方程为．
（2）证明：直线l：，令得，所以点，
因为直线平行于直线l：，且过点，
所以直线：，
设直线：，联立，得，
所以，设点，，
由韦达定理可得，，
所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，
联立解得，
同理可得，
所以
，
因为，所以，即A是线段MN的中点．所以．
21．已知函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若存在使得，试求的取值范围.
【答案】(1)1或
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，求整数的值；（2）将不等式存在性问题，转化为，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值，代入不等式后，即可求解的取值范围.
【详解】（1），，
当时，，，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，且时，，
故当时，函数的零点在内，满足条件．
同理，当时，函数的零点在内，满足条件，
综上．
（2）问题当时，，
，
①当时，由，可知；
②当时，由，可知；
③当时，，在上递减，上递增，
时，，
而，设
（仅当时取等号），
在上单调递增，而，
当时，即时，，
即，
构造，易知，在递增，
，即的取值范围是．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若与有公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；
（2）联立方程，利用判别式大于或等于零求解.
【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，
又因为，，
代入极坐标方程得；
（2）将直线的参数方程代入，
得关于参数的方程，若与有公共点，
判别式，
即，解得．
23．设均不为零，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3.
【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答.
（2）利用柯西不等式求解最小值作答.
【详解】（1）依题意，，且均不为零，
则，
所以.
（2）因为，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以的最小值为3.





文科生
1
16
23
44
16
理科生
9
24
27
32
8
合计
10
40
50
76
24

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
创文竞赛优秀奖
未获优秀奖
合计
文科生
60
40
100
理科生
40
60
100
合计
100
100
200