2024届贵州省天柱民族中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2024届贵州省天柱民族中学高三上学期第三次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求集合，再求集合的交集.
【详解】，得或，即或，
，所以.
故选：A
2．设，则函数的最小值为（ ）
A．0B．C．-1D．
【答案】C
【分析】设，，则，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】设，，则，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
3．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（ ）
A．16B．32C．24D．48
【答案】D
【分析】应用二项式定理确定展开式中含的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和.
【详解】由展开式通项为，，
令，则；令，则；
所以的展开式中含的项为，
即，故，
设，
令，则，
令，则，
两式相加得.
故选：D
4．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设易知与关于对称，利用对称性有，即可得答案.
【详解】由，即关于对称，而也关于对称，
所以与在两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在，
所以，故.
故选：B
5．函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造，利用导数研究单调性结合，即可求原不等式的解集.
【详解】令，则在上恒成立，
所以在定义域上递减，而，
所以原不等式即为，可得，
故原不等式解集为.
故选：C
6．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．-4D．4
【答案】A
【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
故选：A.
7．已知数列中，，且为数列的前项和，记，则数列的（ ）
A．最小项为B．最大项为
C．最小项为D．最大项为
【答案】A
【分析】由等差数列性质得是公差为2的等差数列，写出通项公式和前n项和公式，进而有，利用导数研究其单调性并列举前几项，即可得答案.
【详解】由且，易知：是公差为2的等差数列，
所以，则，
故，令且，
所以恒成立，故在上递增，
由，故无最大项，最小项为.
故选：A
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造且，利用导数研究单调性比较大小，根据三角函数线知时有，比较大小，即得答案.
【详解】令，
设且，则，
令，则，所以单调递增，
则，故单调递增，所以，
故在上恒成立，则，即，
由三角函数线，时有，则，即.
综上，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用放缩有、，构造研究单调性，及三角函数线知时比较大小.
二、多选题
9．点是函数图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的值域为
C．是图象的一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】由题设中函数图象的性质可得，再根据正弦型函数的性质判断各项的正误.
【详解】由题意，，且，且，
又，则，故，值域为，
，即是一个对称中心，
由，则，故在上单调递增.
所以A、B、D正确，C错误.
故选：ABD
10．某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．估计产品长度的样本数据的分位数是
C．估计产品长度的样本数据的众数是
D．估计产品长度的样本数据的平均数是
【答案】ABC
【分析】根据频率和为1计算A正确，确定分位数位于内，计算得到B正确，根据众数定义计算得到C正确，计算平均数得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，解得，正确；
对选项B：长度在以下的比例为，
长度在以下的比例为，
故分位数位于内，设为，则，解得，
正确；
对选项C：产品长度的样本数据的众数是，正确；
对选项D：平均数为，错误.
故选：ABC.
11．有3台机器生产同一种零件.第1台机器加工的次品率为10%，第2，3台机器加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起.已知三台机器生产的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为0.02
B．任取一个零件是次品的概率为0.084
C．如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为
【答案】ABD
【分析】应用乘方公式、全概率公式求第一台机器生产出来的次品概率、次品的概率，再由条件概率含义，应用古典概型的概率求法求次品条件下第2、3台机器生产的概率.
【详解】A：任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为，对；
B：任取一个零件是次品的概率为，对；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为，错；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为，对.
故选：ABD
12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界，若存在.使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，下列说法正确的是（ ）
A．2是的一个下界
B．有上界无下界
C．有上界无下界
D．有界
【答案】ABD
【分析】根据函数单调性计算最值得到AB正确，举反例得到C错误，根据三角函数有界性得到，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：在上单调递增，故，正确；
对选项B：，则，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，故函数在时有最大值为，无最小值，
即恒成立，正确；
对选项C：当趋近时，趋近，错误；
对选项D：，则，即恒成立，正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，则等于 .
【答案】
【分析】应用倍角正余弦公式及平方关系得到正余弦齐次式，由弦化切求值即可.
【详解】.
故答案为：
14．已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点的距离为3，若为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，直线的斜率为 .
【答案】/
【分析】根据题设可得，则，，若关于准线对称点为，由、的周长为，只需共线周长最小，进而求坐标，即可得直线斜率.
【详解】由抛物线在第一象限内的点到抛物线焦点的距离为3，
所以，即，则，，
若关于准线对称点为，则，
而的周长为，
要使的周长最小，即共线，此时，
若，则，即，
所以直线的斜率为.
故答案为：
15．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围.
【详解】由函数解析式可得图象如下，
要使函数有3个零点，即与有三个交点，
由图知：或，即.
故答案为：
16．已知对任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先利用参变分离出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范围.
【详解】根据题意可知，，
由，可得恒成立，
令，则，
现证明恒成立，设，
，当时，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故时，函数取得极小值即最小值，，
所以，即恒成立，
，
，
当且仅当（该方程显然有解）时取等号，所以，即.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，本题的关键是利用不等式的放缩，即利用，转化 ，求函数的最小值.
四、解答题
17．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据，，变形证明数列是等差数列，即可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果，，再利用放缩法得，最后再求和，即可证明不等式.
【详解】（1）当时，，
即，
由数列为正项数列可知，，又，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即，则，
当时，，当时，成立，
所以
（2）由（1）可知，，则，
当时，
，成立，，成立，
当时，
，
即.
综上可知，，得证.
18．2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.2023年8月4日，贵州省工业和信息化厅召开推进贵州刺梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业刺梨高质量发展工作，集中资源､力量打造“贵州刺梨”公共品牌.贵州省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值的各项数据如下：
年份x，综合产值y（单位：亿元）
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为；
参考数据：
【答案】(1)，变量y与变量x之间有强相关性；
(2)，预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值亿元.
【分析】（1）利用相关系数公式求相关系数，判断变量间的相关性，即得结论；
（2）应用最小二乘法求回归直线，将代入估计2023年底综合总产值.
【详解】（1）由题设，则，，，
所以，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.
（2）由（1），，，
所以，
当，则亿元.
19．已知函数，其中，设函数的反函数为.
(1)记函数的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：；
(2)若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题设，对、求导，根据得，化简即可证结论；
（2）问题化为与在第一象限有两个交点，研究与相切的情况求得，结合指数函数的图象性质确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，且，
若，则，
所以，得证.
（2）由、关于对称，要使与的图象有两个交点且，
只需与在第一象限有两个交点即可，而，
若与相切且切点为，则，
所以，则，结合指数函数的图象性质：
若时与在第一象限有两个交点；
若时与在第一象限无交点；
综上，.
20．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
(2)若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取线段CF中点，连接OH、GH，可证明四边形AOHG是平行四边形，再由线面平行判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可.
【详解】（1）取线段CF中点，连接OH、GH，如图，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，，所以O是线段CE的中点，
∴且，
又且，
∴且
∴四边形AOHG是平行四边形，则
由于平面，平面，
∴平面GCF．
（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，
∴即为二面角的平面角．∴，
以为坐标原点，，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，如图，
设，则、，，
∴，，，
设平面GCF的一个法向量，
由，得，取，则，
于是平面GCF的一个法向量，
∴，
∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．
21．已知椭圆的两焦点分别为是椭圆与轴的一个交点，且.
(1)求该椭圆的方程及其离心率；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是；若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线，切点分別为，求的面积的最小值.
【答案】(1)且；
(2).
【分析】（1）根据椭圆性质得，应用余弦定理列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程和离心率；
（2）设，根据切线定义得到直线，联立椭圆消元得，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求、到直线的距离关于参数t的表达式，最后由面积公式得到的面积关于参数t的表达式，利用导数求最值.
【详解】（1）由题设，且，
所以，则，
所以且离心率.
（2）设，过的切线分别为，，
所以，，故直线，
联立椭圆消去x得：，则，则，
所以，则，
而到直线的距离，
所以面积，令，
则，故，故递增，
所以，故的面积的最小值为，当且仅当时取得.
【点睛】关键点点睛：第二问，设，应用切线方程定义求出直线的方程，联立椭圆方程并应用韦达定理得到三角形面积关于的表达式为关键.
22．已知函数.令.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点为，且，求证：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对求导，讨论、、判断导函数的符号确定单调区间；
（2）问题化为在的两个零点为，由根与系数关系得，，，并整理，分析法化为证，构造且研究单调性比较大小即可.
【详解】（1）由题设且，
则，
当时，上，递减；上，递增；
当时，上，递减；
当时，上，递减；上，递增；
综上，时递减区间为，递增区间为；
时递减区间为，无递增区间；
时递减区间为，递增区间为.
（2）由题设且，则，
因为的两个极值点为，且，故在的两个零点为，
所以，且，则，，
所以
，
要证，只需证，
即，即，
令，则，设且，只需证，
由，即在上递减，故，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，把极值点问题化为在的两个零点为，应用韦达定理、根与系数关系得到，，，作差结合分析法化为证，最后构造函数研究单调性比较大小.
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8