2024届河北省石家庄二十五中高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届河北省石家庄二十五中高三上学期第一次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】A
【分析】由对数函数定义域可求得，根据元素个数即可求出真子集个数.
【详解】根据题意可知，解得；
即，可知集合中含有3个元素，
所以其真子集个数为个.
故选：A
2．已知在上是减函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求解．
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为，
若函数在上是减函数，则，解得，
即的取值范围为.
故选：B．
3．关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意.
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意.
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
4．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由分段函数在上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.
【详解】因为在上单调递增，
所以，
所以是的必要不充分条件，即是“在上单调递增”的必要不充分条件，
故选：C.
5．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的解析式判断函数的奇偶性以及当时，函数值的符号，排除错误选项即可得出选项.
【详解】由，定义域为，关于原点对称，
则，
所以函数为偶函数，排除B、D；
当时，，故排除C.
故选：A
6．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有3个交点，通过数形结合可求得结果.
【详解】当时，函数，可得
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以时，
由此可得图象如图所示：
若函数有3个零点，则与有3个交点
由图象可知：当时，与有3个交点，
则，即实数a的取值范围是
故选：B.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，着重考查数形结合思想的应用.
7．已知是定义在上的奇函数.，且当时，，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据对称性与奇偶性得到的周期为，再求出及，最后根据周期性计算可得.
【详解】由满足，可得的对称中心为，则，
又函数为奇函数，所以，
所以，即，所以函数的周期为，
又，令，则，
是定义在上的奇函数，则，
又当时，，
则，
，
所以．
故选：C．
8．函数均为偶函数，且当时，是减函数，设，，则a、b、c的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质和周期函数的定义证明，由此转化，利用函数的单调性比较其大小.
【详解】因为函数均为偶函数，
所以，，
所以，
所以，
，
因为，当时，是减函数，
所以，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
10．下列命题正确的有（ ）．
A．若命题，，则，
B．不等式的解集为
C．是的充分不必要条件
D．，
【答案】ABC
【解析】对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断.
【详解】解：对A，若命题，，则，，故A正确；
对B，，
令，
则，
又的图象开口向上，
不等式的解集为；故B正确；
对C，由，
解得：或，
设，，
则，故是的充分不必要条件，故C正确；
对D，当时，，故D错误.
故选：ABC.
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点
D．方程有两个实数解
【答案】AC
【分析】直接计算的值，可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；解方程可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D错.
故选：AC.
12．若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数，进而研究其单调性判断C；构造函数，进而研究其单调性判断D.
【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误；
对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确；
对于C选项，令，则，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以与大小不定，故C选项错误；
对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，
所以，当时，，即，故D选项正确.
故选：BD
三、填空题
13．函数的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则，所以，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以函数在单调递增，在上单调递减.
所以当，即时，
取得最大值为.
故答案为：.
14．已知函数，求的值域 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，分段求每部分的值域，再求并集.
【详解】由，，则， 当时，即时，等号成立，
当时，，
综上可知，所以函数的值域是.
故答案为：
15．已知函数，则满足的的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先根据题中所给的分段函数的解析式，分和两种情况讨论，求解指对不等式求得结果.
【详解】①且，解得，
②且，解得，
综上所示，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有根据函数值的范围确定自变量的范围，属于简单题目.
16．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.
【详解】由题意可得，令得
所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，
所以的图象如下图：

要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，
与的距离即为A，B两点之间最小的距离，
令，解得．由，
所以直线的方程为，即
则与的距离的距离，
则A，B两点之间的最短距离是．
故答案为：．
四、解答题
17．已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可；
（2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
18．暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）因为，，
所以中位数在区间内，设为，
则，解得，
即估计这100名居民成绩的中位数为；
（2）成绩在有人，
成绩在有人，
成绩在有人，
则可取，
，，
，，
所以分布列为
所以.
19．已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间(1，2)上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出导函数，由极值点，切线的斜率可列式求得得函数解析式；
（2）求出导函数，由在上恒成立可得，采取分离参数法转化．
【详解】（1），由题意，解得，
所以；
（2）由（1），，
在是递增，则在上恒成立，
，时，，所以．
五、证明题
20．设函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）若对任意及，恒有
成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）极小值为 ，无极大值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）求的解，根据极值的定义判断在x两侧的符号，从而求出的极值.
（Ⅱ）对求导，利用二次函数求根的方法进行分类讨论，然后利用导数的正负求得单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，求得的最大最小值，从而求出的最值，转化为求大于的最大值的问题，进而求得m的范围.
【详解】（Ⅰ）依题意，知的定义域为.
当时，，.
令，解得，
当时，；当时，，
又，
所以的极小值为，无极大值；
（Ⅱ）∵，
当时，， 令，得或，令，得；
当时，得，令，得或，令，得；
当时，；
综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为；
当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.
当时，取最大值；当时，取最小值.
所以
，
因为恒成立，
所以，整理得.
又，所以，
又因为，得，
所以，
所以.
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了学生的解题能力和转化能力，解题的关键是二次函数分类讨论求不等式以及恒成立问题的转化，属于难题.
六、解答题
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；
(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解.
【详解】（1）当时，，则，
则
又，所以所求切线方程为，
即.
（2），等价于,
①当时，显然成立;
②当时，不等式
等价于,
设，则.
设，
则,
）时，，当）时，,
则在上单调递减，上单调递增.
因为，所以，且,
则当时，，当）时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
则,
则，故a的取值范围为.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：不等式有实数解.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可；
（2）要证不等式有实数解，只需证明即可，由（1）求出，进而得证.
【详解】（1），
当时，，则函数在上单调递减，
当时，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）要证不等式有实数解，
只需证明即可，
由（1）得，
则只要证明即可，
即证，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以当时，不等式有实数解.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.